1樓：南中國海的一條魚
除了分離變數積分法比較容易理解以外，高等數學課本在其它的微分方程的時候，幾乎都是給出很多搞不明白的原理，然後證一證就開始用了，有時甚至會給出一些不嚴謹的方法（如常數變易法）解微分方程，弄得人們一頭霧水。而且，關於「齊次」、「線性」等概念，課本只是給出乙個方程的樣子，卻不解釋為何叫「齊次」為何叫「線性」（如果碰上一些沒有耐心的老師，當你問為什麼這個方程是「齊次」/「線性」的時候，你只會獲得「就叫這麼個名字，好比你叫某某某」的答案）。這些無疑增加了微分方程的學習難度。
當然，有些積分確實很難算出來，這也是微分方程較難學習的乙個原因。
不過有一點值得注意，這個世界上能給出初等函式解析解的微分方程雖然有無窮多個，但非常少。那些沒法給出初等函式解析解的微分方程不但有無窮多個，而且非常非常多。
最經典的乙個， ，這個方程就沒有初等函式解析解。
下面根據同濟版高數教材順序進行補充：
2、可分離變數的微分方程
求通解非常簡單，書裡講得還算比較詳細。關於求初值問題的特解，需要補充一下。
的確，我們可以將初值代入到通解中，求出常數的值得出特解。不過，這並不是乙個太好的方法。我們學過不定積分，也學過定積分，而初值問題實際上可以轉化為求積分上限函式。
畢竟，不定積分只代表原函式，而定積分則代表著特定的變化量。
從物理角度上看，以動量和衝量為例，衝量可以理解為是力在時間上的累積作用，中學給出的公式是 ，由此可知，衝量是乙個過程量。而當我們學過定積分以後就會知道， ，它表示力在 到 這段時間內的累積效果，根據動量定理，我們有 ，恰好我們又通過大學階段物理的學習知道，力是動量對時間的導數，而力在時間上的積分得到的是衝量而非動量。根據這些物理原理，我們可以這樣理解：
定積分得到的是乙個變化量，只有加上初始狀態才能得到乙個狀態隨時間的變化。比如：
（加速度在時間上積分得到速度的變化）
（速度在時間上的積分得到的是位移而不是位置）
對於一般的函式 而言， ，這樣我們就有，若 ，且 ，則有
若將上式中 替換為 ， 替換為 ，這樣最後求得的，就是給定初值條件下的特解。這裡需要注意的是，所有積分的下限必須對應同乙個自變數的值。
3、齊次方程（變數齊次方程）
這裡最難以讓人理解的就是齊次的概念。微分方程中必然包含著各階導數。在一階微分方程中只包含一階導數，如果方程兩邊乘上對自變數的微分，那麼方程的所有項都會包含乙個微分因子，如果不看這個微分，則方程中所有項的自變數和因變數的指數之和是相等的，也就是各項的次數相等，故被稱為「齊次方程」，實際上應該叫「變數齊次方程」。
4、一階線性微分方程
所謂「線性」就是「一次」的意思（初中講，一次函式的圖象就是一條直線）。一階線性方程，就是關於函式及其一階導數的一次方程。當常數項為 時被稱為一階齊次線性微分方程，這是因為無論如何移項，兩邊關於函式和一階導數的整式都是一次的，或者是 （ 是任意次整式）。
關於「齊次」和「線性」的概念可閱讀以下回答：
什麼是「齊次」，「非齊次」，「線性」，「非線性」？
常數變易法的原理見以下回答：
解非齊次一階線性微分方程時，為什麼先要解它的齊次方程？
說明一下，如果利用定積分法解初值問題，在我這個回答中給出的湊微分法中，方程兩邊同乘的函式只需找乙個最簡單的函式即可，只是需要在定積分的時候單獨計算初值。
5、可降階的高階微分方程
這個較為直觀。
6、高階線性微分方程
數學專業中專門有一門課叫微分方程，裡面會詳細研究很多種微分方程的求解方法和解的結構特點。實際上解出一般形式的高階線性微分方程幾乎是不可能的事情。只不過一般作業和書後習題是不會刁難人的。
7、常係數齊次線性微分方程
微分方程是關於微分的方程，而不是關於變數的方程，因而微分方程中的「係數」是指和待求函式及其導數相乘的函式，常係數就是常函式作為係數。這類方程的求解相對簡單，書中給出的是令人毫無頭緒的特徵方程法，雖然我們知道，自然指數函式具有求導等於自身的特性，但是書中如此粗暴地直接使用自然指數函式實在是讓人一頭霧水。
不過在我認真思考關於變數的方程的因式分解、降次和微分方程的拆分、降階的關係後，我就找出了解微分方程而不是用定理套出微分方程的解的過程，請參閱
如何推導高階常係數線性常微分方程的解具有自然指數形式的充分必要條件？
如何求二階常係數非齊次線性微分方程特解？
8、常係數非齊次線性微分方程
前面的補充內容中，我給出了乙個鏈結，這個鏈結裡提到的回答其實可以說已經解決了線性微分方程的求解方法，而不必要刻意關心其是否齊次。不過就在前幾天我看到有人提問特解為什麼要按教材那樣設定的時候，我決定還是通過計算給出理由，以下就是相關的回答：
常係數非齊次線性微分方程求特解時候為啥蘭姆達是單根就乘個x?蘭姆達是重根就乘個x平方？
9、10、下次更新再講
常微分方程有哪些著作？
王馳宇 丁同仁的 常微分方程教程 還算是可以，起點比較低，基本的數學分析或高等數學學完就可以看。當然，線性代數也是必須的。其中有部分打星號的內容，第一次看的時候可以略過。對於存在性證明的問題，建議自己先畫圖，能夠畫圖理解思路非常重要。至於只需要基本知識的而且偏重於實際應用的，王高雄的 常微分方程 理...
如何解此微分方程
已登出 To solve for thefirst order non linear ordinary differential equationwhere is a function about x,first let us attempt to convert the equation into...
如何求解微分方程y y sinx？
ABCDEFG from sympy import x symbols x y Function y eq y x diff x,2 y x sin x print dsolve Eq eq,0 y x y x C2 sin x C1 x 2 cos x 半個馮博士 齊次方程通解 非齊次方程特解 通...