1樓：
（想用射影性質做沒做出來，先給乙個不太嚴謹的純幾何證明吧）
先考慮有兩個頂點在左支的情況。
如圖，以準線上一點 為圓心， 長為半徑作圓交雙曲線於點 ，則 是正三角形。
如圖，作點 關於準線的對稱點 ，則由圓 關於準線的對稱性得 均在圓上。
又由雙曲線 ，利用第二定義及垂徑定理即可得到 與 。此時導圓心角即易得 。
對 和 分別施行對稱，同理即有 ，故是正三角形。
由引理可以得到，對雙曲線右支上任意一點 ，在雙曲線上存在以它為頂點的正三角形。下證這樣的正三角形是唯一的。
如圖，假設存在 使得 為正三角形，顯然 應在 的同側。
① 在 的上方，易得 ，故不可能為正三角形；
②在 的下方，同理有 ，故不可能為正三角形。
因此，若在雙曲線上有三點構成正三角形，其生成方式必由引理中所示，即 的圓心必在雙曲線的左右準線上。
2樓：kuing
記 ，設 的外接圓方程為 ，由於該圓已經和雙曲線有三個交點，它們都是二次曲線，故而應當還有第四個交點，設為 ，將倆方程聯立：
（1）消 y 得 ，故由韋達定理有 ；
（2）消 x 得 ，故由韋達定理有 。
由於 是正三角形，則其重心與外心重合，所以 且 ，這樣就得到 且 ，即 ，該點在雙曲線上，所以 ，這就證明了 的中心在直線 上。
補充一下消元的簡單過程，比如消 y，由
兩式相加得 ，即 ，然後代回式 (*) 中得 ，展開即 ，消 x 同理。
所以計算量很小，皆因只要知道前兩項的係數，低次的不用管。
3樓：Achatinidae
這兩條定直線為雙曲線的兩條準線 ，且△ABC的外接圓恆過雙曲線的左頂點或右頂點
更一般地，對於橢圓 ，其上三點構成的正三角形中心軌跡為
對於雙曲線 ，其上三點構成的正三角形中心軌跡為
對於拋物線 ，其上三點構成的正三角形中心軌跡為
本題是 的特殊情況，雙曲線含 的部分被消去，故退化為雙直線
接下來我們來證明上述結論：
對任意圓錐曲線進行平移，旋轉，使其焦點變為 ，準線
根據定義，圓錐曲線上的點到焦點的距離和到準線距離之比為離心率
故圓錐曲線方程 ，設橢圓中心
故 三點均在曲線上
四個未知數三個方程，故可以消去 來得到 的關係式.
這麼多三角比堆在裡面明顯很難處理，我們可以通過一些換元來簡化計算。
令 故代入得到
現在就是乙個多項式消元問題了，對於這種多項式消元，我們可以通過求其格羅布納基( )的方法快速消元
得到結果：
前半部分 為原曲線，不為0，故約去。得到：
看著很恐怖，但我們注意到 的最高次項均沒有超過二次，且沒有交叉項
故所得結果是一條不傾斜的圓錐曲線
接下來的事情就好辦了，我們只需各自計算頂點的情況，然後根據對稱性即可得到上述結果。
從這個結論中，我們可以發現圓錐曲線的內接等邊三角形的中心軌跡為另一條圓錐曲線。
這個結論似乎可以推廣到內接N邊形中，但圓錐曲線不會有 4\]" eeimg="1"/>的內接正多邊形，故我們考慮內接等邊N邊形(即各條邊都相等的N邊形，N=3時就是等邊三角形，N=4時就是菱形)的重心
如果你用軟體畫出橢圓的內接等邊五邊形的重心軌跡，你會發現其重心軌跡好像是個小橢圓
於是我們很自然地會猜想：內接橢圓的等邊N邊形的重心軌跡為橢圓
然而通過具體數字驗證，這個結論完全錯誤
隨便取五點擬合橢圓，發現有很小的交叉項，不滿足對稱性，故不是橢圓
精確計算驗證
事實上，對於大於3的N，當N為偶數時，重心似乎恒為原點；N為奇數時，重心軌跡為一條高次曲線
4樓：你的酒窩沒有酒
說乙個思路，既然是求證乙個點在兩個定直線上，那就是說求證這個點是個定點。
那麼和我們常見的證明某條直線恆過定點的問題一樣了。
這個解析幾何問題怎麼證明？
予一人 這本質上是射影幾何中的對合。當然，也可以看作蝴蝶定理在橢圓中的推廣 將橢圓仿射為圓後，依仿射變換的保單比性，結論自然是成立的。 sumeragi693 這就是笛沙格對合定理，射影幾何中乙個很著名的定理。它是這樣描述的 若乙個簡單四邊形內接於一條二次曲線，直線不經過四邊形的頂點，並且交二次曲線...
能用用解析幾何解中考平面幾何題嗎？
一位數渣來了 其實也不是不能用對吧 當然因為筆者地點位於某智障區域 甚至會有老師看不懂你的證明的是吧 我覺得其實中考題中沒有用的必要，也沒有什麼難 初中就解析幾何學得好的人，數學水平肯定是中考有手就行 qzc.omega 初中階段的解析幾何比較簡單，所以使用的時候經常注意超綱。所以不推薦使用，而且中...
解析幾何 大題怎麼設直線方程？
Rikka612 題目給出了直線方程 例如 已知直線 與橢圓 相交於 這時候就直接用題目給的方程聯立即可。2.直線經過 軸上的定點 此時，弦長這樣表示 3.直線經過 軸上的定點 設直線 這是大家都知道的。4.直線經過定點 可以設直線 當然，這只是一般情況下的設法。具體情況需要具體分析。PS 看到提問...