1樓：予一人
這裡只給出B選項正確性的嚴格證明。任取 將 在該 處分別作 展開，並注意 0," eeimg="1"/>有
f(x)-xf'(x1=f(1)>f(x)+f'(x)(1-x)," eeimg="1"/>
兩式相加得 對此不等式兩端同時積分，可得
所以 類似可證 兩式相加即得。
2樓：
根據題目的已知條件，先畫個草圖，如下：
由題可知， 經過點 , , ，連線 和 ,設由這兩條線段對應的函式為 ,又因為 0" eeimg="1"/>，所以在 上 為凹曲線,則
，所以 ，由定積分的幾何意義可知
, ,所以 ，所以選B
3樓：Alepha E
我就寫寫B選項為啥對好了。
其實看見條件有點的資訊，n階導數界的資訊不難想到Taylor，但是算下去能知道，會出現一階導的事情，但是這道題沒有一階導的全域性條件，所以估計起來會很麻煩。
但是觀察那個二階導，不難發現這個是下凸函式——開口朝上。
所以不妨我們用定義： 來思考。
proof：
考慮 ，則由（1）可得 定積分後 接著，將 重複（2）和（3）的過程就有類似的 結合（3,）（4），有
4樓：
先宣告，對於這種問題湊函式的方法遠比證明快。可參見其他答主的答案，這裡不再贅述。
證明分兩步走：
不妨假設 C 對所有的 均成立，則可取 滿足：
0" eeimg="1"/>
\int_^1f_0(x)x" eeimg="1"/>令 ，則有：
0" eeimg="1"/>
矛盾，故 C 選項錯誤。同理可得 D 選項錯誤。
由 0" eeimg="1"/>，可得 為凸函式。後面的過程其實很簡單，就是拿乙個凸函式與直線比較。
從圖中可以看到 f(x) 在兩條直線下方
令 ，其影象為過 的直線
令 ，其影象為過 的直線
則易得在 上 ，在 上 （可由凸函式性質立得（大學方法），或求二階導證明（高中方法）
則有 故 B 選項正確，A 選項錯誤。
5樓：酉運算元譜分解
選B。若 0" eeimg="1"/>，則存在 使 2|c|-1" eeimg="1"/>，
不妨設 （大於零完全類似）, 由中值定理
\frac=-2,\xi_1\in(-1,c)" eeimg="1"/>
在 上用中值定理， ，
矛盾。C和D， 是偶函式即是反例。
由上凸函式的Jensen不等式，
事實上 可以任意接近 。
只需在 上令 ，兩頭的區間上用 函式連起來，比如可以是 ，
6樓：凡夫俗子
這道題我也沒辦法嚴謹地來說明，但是這作為一道選擇題，我想並不難解決。
首先題目說到函式過三個點
把這三個點的位置在座標圖中描出來。
這不僅讓我們猜測會有乙個二次函式，經過這三個點。我們不妨設這個二次函式為
將三個點的座標代入，就可以解出三個未知的a，b，c的值。最後得到二次函式的表示式為
畫圖驗證一下
又因為這個函式f（x）滿足
所以我們就得到了乙個滿足我們條件的乙個函式。知道了具體的函式的表示式，那麼計算A，B，C，D4個選項中的積分並比較它們的大小就完全沒有問題了。
嚴謹的解答，等巨佬罷。
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已登出 Theantiderivative of the integrand is not elementaryand must be expressed withimaginary numbers and the dilogarithm function,which isa particular ...