1樓：霜夏
系統的方法啊……
我們先證它在Q[x]上沒有一次因式。
假設它有一次因式(px-q)，則它有有理根x=q/p，由有理根定理知p是1的因數，q是6的因數。故x的可能取值只有-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3或6，經檢驗都不滿足。
這就說明了，原式在Q[x]上沒有一次因式。
現在，由於原式是五次式，故分解式只能乙個是二次式、另乙個是三次式。
然後待定係數就好了。
最後結果是(x+x+2)(x-3x+3)，嗯就醬
2樓：ssdylhj
11(-1)0(-3)6
＝108976
＝2*2*2*2*7*7*139
＝112*973
＝112*10(-3)3
結果是(x+x+2)(x-3x+3)
3樓：Septsea
Uninvited.
Suppose that there are polynomials in such that . Without loss of generality, assume that the degree of does not exceed . Then
Hence can be , can be , and can be . Again, without loss of generality, suppose 0" eeimg="1"/>.
Note that is of the form
It is not hard to verify that divides for two integers and any polynomial in . Hence must divide , and must divide .
We could write a Python script to list all possibilities:
from
itertools
import
producta=
[1,2
,4,-
1,-2
,-4]
# f(-2)b=
[1,2
,3,6
]# f(0)c=
[1,2
,4,-
1,-2
,-4]
# f(1)
('f(-2)'
,'f(0)'
,'f(1)'
,'c2'
,'c1'
,'c0'
,sep='
\t')res
=product(a
,b,c
)forx,
y,zin
res:
if((z-
x)%3
==0and(y-
x)%2
==0):c2=(
x-3*
y+2*
z)/6
c1=(-
x-3*
y+4*
z)/6
c0=yprint(x
,y,z
,c2,c1
,c0,sep='
\t')Output (36 possibilities):
f(-2) f(0) f(1) c2 c1 c0
1 1 1 0.0 0.0 1
1 1 4 1.0 2.0 1
1 1 -2 -1.0 -2.0 1
1 3 1 -1.0 -1.0 3
1 3 4 0.0 1.0 3
1 3 -2 -2.0 -3.0 3
2 2 2 0.0 0.0 2
2 2 -1 -1.0 -2.0 2
2 2 -4 -2.0 -4.0 2
2 6 2 -2.0 -2.0 6
2 6 -1 -3.0 -4.0 6
2 6 -4 -4.0 -6.0 6
4 2 1 0.0 -1.0 2
4 2 4 1.0 1.0 2
4 2 -2 -1.0 -3.0 2
4 6 1 -2.0 -3.0 6
4 6 4 -1.0 -1.0 6
4 6 -2 -3.0 -5.0 6
-1 1 2 0.0 1.0 1
-1 1 -1 -1.0 -1.0 1
-1 1 -4 -2.0 -3.0 1
-1 3 2 -1.0 0.0 3
-1 3 -1 -2.0 -2.0 3
-1 3 -4 -3.0 -4.0 3
-2 2 1 -1.0 0.0 2
-2 2 4 0.0 2.0 2
-2 2 -2 -2.0 -2.0 2
-2 6 1 -3.0 -2.0 6
-2 6 4 -2.0 0.0 6
-2 6 -2 -4.0 -4.0 6
-4 2 2 -1.0 1.0 2
-4 2 -1 -2.0 -1.0 2
-4 2 -4 -3.0 -3.0 2
-4 6 2 -3.0 -1.0 6
-4 6 -1 -4.0 -3.0 6
-4 6 -4 -5.0 -5.0 6
Constant polynomials can be safely passed. It is not hard to see that if , then must divide . Similarly, if and , then must divide .
Hence all (14) possibilities are
f(-2) f(0) f(1) c2 c1 c0
1 1 4 1.0 2.0 1
1 1 -2 -1.0 -2.0 1
1 3 1 -1.0 -1.0 3
1 3 4 0.0 1.0 3
2 2 -1 -1.0 -2.0 2
4 2 1 0.0 -1.0 2
4 2 4 1.0 1.0 2
4 2 -2 -1.0 -3.0 2
4 6 4 -1.0 -1.0 6
-1 1 2 0.0 1.0 1
-1 1 -1 -1.0 -1.0 1
-1 3 2 -1.0 0.0 3
-2 2 1 -1.0 0.0 2
-4 2 2 -1.0 1.0 2
Note that . Hence must divide . So all (6) possibilities are
f(-2) f(0) f(1) c2 c1 c0
1 1 -2 -1.0 -2.0 1
1 3 4 0.0 1.0 3
4 2 4 1.0 1.0 2
-1 1 -1 -1.0 -1.0 1
-1 3 2 -1.0 0.0 3
-2 2 1 -1.0 0.0 2
Well, now we can divide by these . Only works. Hence
Clearly, is irreducible (in ). It is not hard to see that is also irreducible (in ).
4樓：
預設在 中分解。一般要手算的話方法就是設它為 。對於乙個 次多項式而言要麼 ，要麼 。
於是剩下的事情就是待定係數了。你會發現 時待定出來的係數明顯不是整數，而 時候 ，於是我們得到了想要的結果。
對於更高效的演算法，在計算機代數中，我們有大素數和因子組合演算法、Zassenhaus 演算法、格中短向量演算法等等。具體請參考《計算機代數系統的數學原理》。
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