1樓：自學生
用我發現了《時間生命是一對同在的自然法則》觀點來看。宇宙事物是一對統一同在法則的自然世界和思想世界，身體力量是一對輸入輸出的時間電流，電流電壓性質的一對資訊事物速度時間流量，是思維邏輯實驗經驗記憶時間數量。總之，思想資訊語言是時間標準和數字符號的原理模型，都是一對統一同在時間生命自然法則原理型，都是1半+1對=3份1+3份2，是3份6份12份的正中和正反時間的數量標準原理模型。
2樓：陸離
如果你碰巧點進了我的主頁，可能會發現我的幾個和數學有關的回答基本都是圍繞這乙個問題展開的。只不過他們體現了這一段學習的過程之中不同的疑惑。全都是回答這個主題的問題可能說明這幾年我數學學習的巔峰，就是在大一了吧。
（想了想，後面的內容哪有人問啊）
（不過說起來為什麼不加一點問題描述，寫一下當前學業是什麼水平呢，如果已經學了一兩年數學專業的課程我寫起來也會方便很多啊。做讀者傻瓜假設的話，寫得那麼細超累。惱）
如果你是「太長不看」黨，那麼真的很對不起，因為這乙個回答我確實沒有能力壓縮出乙個 tldr 版本（苦笑）。
數學上並沒有明確規定什麼是數，而是明確定義了什麼是自然數，什麼是整數、有理數、實數。
首先如其他答案之中所說的，大多數時候我們關心的是數之間可以進行運算得到結果這樣的性質上的特點。（關於什麼是數可能看下面這篇回答說得會多一點，這一次回答主要講構建數系）
有沒有可能把 π 或 e 等無理數當成 1，這樣就能使許多定理顯而易見？
但是你得清楚，你關注的是這個集合上的什麼性質。
為什麼實數與數軸上的點一一對應？
而在什麼時候，兩個集合的性質是不一樣的、在什麼意義下不一樣的。
平面內的所有直線與無數條直線有什麼區別？
不知道出於什麼巧合這些問題我全都回答了。這些都是非常有趣的問題（儘管我的答案不一定有趣），我希望大家感興趣的話可以去了解一下。構造數系這種事情在汪芳庭的《數學基礎》之中有說到，這是一本非常有意思的書，如果大家想要了解這篇回答原始的學習內容可以去閱讀一下這本書。
這上面的所有問題的非常的基礎，不是特別難懂的問題，但是也不是特別顯然。他們最難的地方在於如果想當然，那基本上就出問題了。
歷史上有很長一段時間數學家關注的都是數之間的運算，這樣確實挺夠了，很長很長的時間以來也都沒出現過什麼問題。那麼究竟是為什麼要關注數的定義呢？
數的概念是怎麼發展起來的？
代數的發展稍慢於幾何，因為幾何是當時的人們看得見畫得出的東西，也是他們平時應用數學的最常見方式，比如建築、買賣地皮。以至於代數公式在那時也一定要有幾何的解釋才被認為可行，也就是初中課本上的「平方差公式幾何解釋」那種形式。在這樣的以度量建立起來的數學之中，沒有負數會是什麼大問題嗎？
顯然不是。甚至如我今日疑惑古人「怎麼能沒有零」一樣，以前的人會疑惑「what does it means to add nothing to something」（ ）。而回想負數被引入時，老師使用負債作為解釋的背景，多少也可以猜到人們使用負數是因為市集和交易行為的發展。
這樣看得到的擴張一直持續到了由有理數擴張到實數。有人因為無理數被淹死的故事相信這個問題下的大家已經是耳熟能詳。 不是空想出來的東西，它可以被實實在在地畫在紙上，有些學派可能會否定這是乙個數，但是他們不能否認它對映的幾何概念是實際存在的。
數學家認為，數系擴張到實數之後，所有實際存在的幾何客體的長度都可以有乙個數字來對應了。這樣的視角之下，一條直線上包含了幾何之中所有可能出現的長度，實數也是所有可能的長度，用直線來表示實數就成為了可以理解的事情（個人觀點，非數學史）。
可以畫出來的無理數
為了描述幾何客體，無理數出現了。而到了複數，數字就沒有那麼好懂了，教材說為了解 這樣的方程引入了 的平方根作為虛數的單位。這樣的引入方式非常奇怪，因為說這樣的二次方程在無解在數學上完全沒有任何錯誤，這樣的根僅在二次方程的視角下也完全沒有任何意義。
Why not just real？實數完全夠呀。這樣的疑問陪伴了我三年，巧的是高一的課我沒有怎麼認真聽過，所以一直懷疑自己是不是上課聽漏了，從來沒想過這個問題本來就沒有被解釋清楚。
虛數存在的意義是什麼？如果你知道三次方程的求根公式，你會看到公式裡面有很多的根號。而在求根的過程之中會遇上負數開二次方。
即使最終得到的根是實數，使用求根公式的過程之中也可能出現給負數開根的情況。要想用三次方程的求根公式，就必須有給負數開方的勇氣。不過因為複數的現實意義並不明確，數學界也迷惑了一段時間。
複數乘法的幾何意義給復平面上的分析帶來了很多漂亮的結論，不過這一次的答案止步於實數，所以複數的內容就不詳細敘述了。複數的內容就交給復變函式課程了。
總而言之，數的擴張總是伴隨著對新性質的需要發生的。
問題發生在微積分誕生的年代，只關注性質一直以來都沒出現過什麼問題，但是在微積分之中，大家以為很簡單的問題卻因此非常難以解釋清楚。
比如無窮小和無窮大，兩者在概念和性質上都非常「簡單」。比如無窮小量是乙個要多小有多小的量。0 是沒有量，但是無窮小量是有量的，所以無窮小量可以拿來做分母用來計算瞬時速度，或者萊布尼茨一點的說法，這樣的分數是有意義的；任何乙個正數都比無窮小量大，因為無窮小量要多小有多小。
再比如極限 ，是乙個變化量 趨於乙個確定量 。換句話說是變化量和確定量之間的距離要多小有多小，也就是 是個無窮小量。
那要是想要搞清楚極限，矛盾點就很清楚了——最起碼先搞清楚無窮小量，況且求導積分還得用到它。
但是在研究的過程之中，很快你會發現如果性質只是用「看起來」怎樣怎樣來描述，微積分就會變成一種公說公有理，婆說婆有理的玄學。
這乙個無窮小量是不是乙個數？如果不是的話它是什麼，為什麼不是數字還可以和一般的數字一起進行運算？如果是的話，是哪一種數字，有理數範圍內，還是實數範圍內，還是超出實數範圍？
微積分都是在數軸上進行無限細分，怎麼說應該走不出實數，因為實數把數軸填滿了。這個數不能簡單的是自然數和整數很好理解，因為自然數和整數分不了那麼細，但是有理數呢？畢竟沒有絕對值最小的非零有理數，細分有理數看起來也不是完全沒有希望。
自然數和整數不夠密沒有辦法分割很自然，畢竟他們看起來比有理數少了那麼多東西，有理數可比他們密集多了。像是 這種方程限制在整數上是不一定有解的，而 在有理數上確是一定有解的，有理數最起碼在加法這種運算上就比整數密了。但是實數也就比有理數多了無理數而已，這個密的程度是密了多少，如果也沒有密很多的話是不是有理由在有理數的角度上考慮無窮小和極限了？
不過像是 ，這樣整個數列都是有理數的數列最後卻不是趨於乙個有理數，明示了只在有理數上考慮無窮小和極限是不夠的。但是實數就夠了嗎？
上面的每一種數都有無窮多個，但是在性質上卻體現出了一種元素分布密的程度不一樣的趨勢。雖說都是無窮大量，但是這已經顯現出了無窮大量之間也是各有不同的。那麼什麼是一樣的無窮，什麼是不一樣的無窮呢？
奇數和偶數一樣多可能還可以接受，但是像是全體奇數和自然數一樣多這個事實也那麼容易接受嗎？自然數全體和有理數全體一樣多這個事實呢？乙個線段上的點和全宇宙空間中的點一樣多這種事實呢？
如果這樣關於無窮的結論你覺得很奇怪的話，在被問到實數是否真的填滿了數軸的時候，我們又有什麼把握回答「是」呢？
只憑感覺解釋已經行不通了，只看性質已經不可靠了，如果只要感覺 可以算出三種不同的結果。問題已經上公升到了沒有「這些數字是什麼」的明確描述就無法判斷這些集合的結構的程度。於是，數系公理化的程序開始了。
並不是實數本身的概念蘊含了其覆蓋整個直線之意，而是我們希望實數覆蓋了整個直線，我們希望直線上每乙個點距離原點的長度，都可以用實數表示；實數這個名字本身並沒有蘊含連續不斷的概念，而是直線的理想模型是連續不斷的，在和直線的模擬之下我們覺得，或者說最起碼希望，實數也是連續不斷的。
實數的構造有幾種方法，如果想要從幾何直觀的連續性來構造的話就是戴德金分割。這個方法我在我數軸上的點和實數一一對應的答案之中有介紹，所以這一次有機會再講就換成柯西的方法來構造吧。這乙個方法比較偏結構化，代數結構的結構。
在開始之前，先回想一下之前提到的 限制在整數上是不一定有解；而方程左側擴充套件到有理數上就一定有解。當只有整數的時候的我們並不預先知道像是 的解到底是什麼，我們只是知道此方程的解必然不是乙個整數。出於我們對這個方程有解的希望，才有了 這樣的乙個數字（此處可以說是提供了乙個可行的利用整數定義有理數的方法）。
如果只有有理數，計算數列的極限可以說是我們擴充套件數系的契機，因為乙個有理數列的極限卻不一定是有理數。
（求求誰告訴我怎麼公式居中）
如果數列的極限就是有理數，那麼很好，這種有理數列沒有產生問題；遇上在有理數範圍內解不出極限的數列，比如 ，出於對所有收斂數列都可以有用於表示極限的數字的希望，可以故技重施，專門給這個數列的極限乙個標記，或者我們可以花哨一點，直接把這個極限不是有理數的數列當成乙個數字。明確來說，新得到的 之中，每乙個數字都對應乙個收斂有理數列。有的實數對應的有理數列收斂到 中的元素，這部分數字就是我們構造出來的 之中的「有理數」；有一些實數對應的有理數列收斂，但是極限不是 中的元素，這一部分就是 之中的「無理數」。
注意，我一直強調是根據收斂有理數列來進行熟悉擴張，因為我們只不過是想讓所有收斂的數列都有極限，而不是讓所有數列都有極限。不收斂的數列沒有極限的原因，不是我們的數系不夠大，而是其本身性質有問題。舉乙個不恰當的模擬， 這個方程不論是在哪乙個數系之中都不會有解，這不是因為熟悉不夠大，而是 本身的性質決定了這個方程必然無解。
接下來解答這幾個問題：
為什麼乙個數列可以被當成乙個數？
如何判斷乙個有理數列確實收斂，只是其極限不是乙個有理數？
多個有理數列收斂到同乙個地方是很常見的事情，那麼應該用他們之中的哪乙個來對應得到的「實數」才合適。
先解決第三個問題。實際上在當前的這種意義下，這幾個數列完全可以看作是同乙個數列。
換成初等一點的例子：我在紙上畫乙個邊長是 1 的等邊三角形，你也在紙上畫乙個邊長是 1 的等邊三角形，如果我說這兩個是同乙個三角形應該聽起來不會太奇怪。這兩個三角形空間位置顯然不同，但是彼此全等，可以說他們是同乙個三角形。
這時候你是按照邊長的不同來審視等邊三角形。如果你用相似來審視，視角放大到不同內角組合的三角形，那麼就所有的等邊三角形，都是同乙個三角形。如果你的視角放大到不同邊數的多邊形，那麼所有的三角形都可以說成其實是乙個東西。
不同的有理數列，只要收斂到同乙個地方（這是很好判斷的，只要他們的差數列是無窮小），就可以看作是同乙個數列。收斂目標相同的有理數列共同構成一類，這是乙個等價類分劃。而我們構造的實數可以對應乙個完整的收斂有理數列的等價類，而不僅僅是乙個數列，畢竟那些個數列全都是同乙個數。
就像 對應分子分母對不僅僅有 ，還有
那麼為什麼乙個數列也可以當作乙個數來使用呢？在這樣的定義下四則運算都已經非常明顯的有定義了（如果 而 ）：
如果 ，
這不正是平時我們用數字幹的事情嗎？直接運算都定義好了有啥不可以。
至於如何判斷乙個有理數列是收斂而不是發散，因為極限並不預先有解，所以沒辦法用定義來驗證。不過讀到這裡，你應該知道柯西收斂定理為什麼是柯西冠名的了吧。
繼續講其他性質的證明就沒意思了，所以到這裡實數的構造就算是完成了。
說到自然數，就不得不提一下皮亞諾用來描述自然數的五條公理（ 表示數字 的後繼， 表示自然數全體，或者說最小歸納集）：
是自然數；
如果 是自然數，那麼 也是乙個自然數；
不是任何乙個自然數的後繼；
如果 ， 。且 。則可知 。
在這個公理之中有兩個事情沒有解釋清楚，乙個是什麼是 ，另乙個是什麼是數的後繼。在集合論的公理化方法之中，這兩件事都使用了幾何的語言來進行表達。
空集定義為 。
對任意集合 ，其後繼定義為 。
在這樣的定義下， ，順帶一提恰巧第 個自然數就有 個元素。
在此基礎之上可以描述加法。
注意，這裡只是給出了加法這個對映 的乙個描述，定義域是自然數是必須的，但是值域、對應規則都是沒有給出的。正是因為這種不明確性，這樣的對映連存在性都是需要證明的（比如「既奇又偶，且函式值非零的函式」是乙個 上對映的描述，但是這樣到的對映是不存在的）。
當然滿足這樣性質的對映，如果有多個滿足條件的對映，就不得不在幾種可能的運算之中挑一種，這也不是不可以，但是實在不如存在唯一來得漂亮。
這兩個證明和更多關於運算性質的推導都在《數學基礎》之中可以看到，我就不費力在這裡講解了。
關於這乙個公理我想稍微說一說它描述的一幅圖景。這幾條公理之中，在我看來最關鍵的一條是歸納公理，這一條公理可以說是體現了化繁為簡的美妙。而我覺得自然數的本質，實際上就是歸納。
任何乙個集合成為自然數集有兩個關鍵因素——包含零，這是歸納起點；只要包含乙個數就必然包含其後繼，這是乙個集合自我展開，自動生成後無窮多個元素的能力。像極了學習數數的小朋友在學習的過程之中做的事情。
而零不是任何乙個元素的後繼，是說歸納永遠不會回到起點陷入迴圈。
任何兩個不同的數後繼必然不同，是說取後繼這個運算作為乙個 上的變換，是乙個單射，歸納鏈必然是一條直鏈，在前進的路上永遠不會回到已經到達過的數字。
歸納鏈這樣的結構是很容易推廣的，設集合 ，函式 與 滿足：
，是單射，
對任意的 ，若 且 ，則可知 。
這樣的 不難看出和自然數集 具有完全相同的結構，這種系統被稱為是皮亞諾系統。
這兩種數字的構造是相對簡單的，就是使用了簡單的等價類。直接看影象基本就可以了。
整數等價類
自然數的二元有序對空間 之中，有很多 對應的 是一致的，稍微計算一下就可以看出來這樣的減法給了負數出現的機會。但是在只有自然數集合的時候，減法常常會遇到不知道減出來是什麼東西的情況，嚴格的定義並不能使用減法進行描述。可以說說 和 是屬於同一類，這兩個點的兩個座標分量的差值是相等在我們心裡清楚就可以了。
而每乙個這樣的等價類，就對應乙個整數。
有理數也非常相似了，分子分母比例相同的就表示的是同乙個有理數，屬於同一等價類。公理化描述是好累。
怎麼定義數學上的 顯而易見 ？
換個角度說，寫顯而易見的人，起碼他在想問題的時候真的認為他考慮的這個子問題在整個大問題底下是顯然的。比起精確的定義這種東西，更重要的是學習這種思維的處理。因為你不可能也沒有那個精力去鉅細無遺的把乙個證明的各種細節想清楚。一旦你太深入細節可能就會失去一些巨集觀上的思維靈活性。甚至可以說，拘泥於不重要的...
在數學上，最大的數 最小的數存在嗎？
馬老 根據阿基公尺德公理 性質 最大數不存在，實際可推論出，最小數也不存在。當限定有上 下界前提下，最大數 最小數才可以存在。我認為阿基公尺德公理實質沒有限定上 下界。阿基公尺德公理可以表述為 給出任何數，你總能夠挑選出乙個整數大過原來的數 或者說，給出任何正數，你總能挑選出乙個整數其倒數小於原來的...
數學上，面積的嚴格定義是什麼？
遠古人類有兩個基本確認概念 乙個是平移不變性，即乙個圖形在平面內任意旋轉平移其占地大小不變 另乙個是計數原理，即如果我有乙個排列成矩形的點陣，點的個數用該是長邊上點的個數乘短邊上點的個數。這兩個是不是很顯然？定義方式可以是多樣的，如果按照遠古人類的想法，應該是這樣定義的 在平移不變性和乘法計數的前提...