在數學上，最大的數最小的數存在嗎？

1樓：馬老

根據阿基公尺德公理(性質)，最大數不存在，實際可推論出，最小數也不存在。當限定有上、下界前提下，最大數、最小數才可以存在。我認為阿基公尺德公理實質沒有限定上、下界。

阿基公尺德公理可以表述為:給出任何數，你總能夠挑選出乙個整數大過原來的數;或者說，給出任何正數，你總能挑選出乙個整數其倒數小於原來的數。

阿基公尺德公理還可以作出其它推論。比如從幾何上解釋，對於任意一條直線，擷取任意2條線段A、B，則必存在A+A+…=nA〉B，nA為n個A相加。也可以說，在一條實數的數軸上，對於任意乙個實數，必能在這一數軸上找到乙個「點」與之一一對應。

對於正實數是否存在最小數的情形，我認為可以這樣說:對於任意長的一條線段，無論你連續多少次將之截斷為2段，「最後」都會有剩餘的線段(還是正實數)，最小值不存在。0不是正實數。

但是，當證明不存在最大數時，雖然是數學意義上的，我認為是否可以從數學推論出乙個驚人的物理結論:宇宙就是無限大的。用反證法可證:

假設宇宙是有限的，則其必有長、寬、高三維的具體數值，根據阿基公尺德公理，給出任意數(比如宇宙長A、寬B、高C)，總能找到乙個整數大於原來的數，所以，A、B、C都不是最大值。如果A、B、C只要有乙個確定為最大值，則與阿基公尺德公理矛盾。因此，宇宙無限大，得證(數學解釋為+∞，沒有最大值)。

愛因斯坦相對論推論出的宇宙有限論與阿基公尺德公理矛盾。宇宙有限只有在先假定宇宙有上限(上界)時，才有最大值，但這已是乙個「假設」，與事實未必相符，所以相對論就是乙個侷限性的理論。

由此，飛人永遠追不上先走一步烏龜的悖論，我認為其錯誤首先是限定了上界，即飛人每次追趕都需要經過其與烏龜之間2分1距離的中點，而此時烏龜又向前爬行了。

2樓：邪來煩惱風

由策梅羅定理（良序定理），任何集合都可以良序化，所以隨便給個數集都能良序化出乙個最小元。

最大的數是不存在的，由阿基公尺德公理可知。

3樓：徐巨集宇

首先要能比較大小，必須是實數。如果涉及到非實的複數，那麼就無法比較大小。也就是說在只有在復平面的實軸上才能比較大小。

就算實數，也不一定存在最大數最小數。首先實數吧，反證法很容易得到不存在最大數最小數，構造即可。更一般地，對於任意乙個無(上/下)界序列，其都無最(大/小)值。

如果是有界的，也不一定有。舉個例子，集合(1,3)中，最大數是多少？這時候有上確界下確界，但是不存在最大數最小數。但是也可能存在，例如[1,3],[1,3),(1,3]。

當然，上面的例子都是有界且無限的。對於無限的，我們的結論是不一定。(若無界必定沒有，而若有界也仍不一定。

)而有限的就比較容易了：其必然存在最大值最小值。這個不證自明。

不過需要注意的是，只要是不在序列中出現重複，則必然只有乙個。另一種說法是對於任意的有限序列，其必存在最值，但不一定唯一。

在數學上，最大的數 最小的數存在嗎？