1樓：
我講一道小學題，是我以前小學做過的一道題目：
題目是說，現有 ， 兩個村莊，它們座標位置分別是 和 。現在想修兩條筆直的小路，從而可以分別讓兩個村莊與位於 軸上的公路接上，而且還要求這兩條小路必須共同相交於公路上的某個點 ，從而可以順便達到兩村之間的道路互通。
為了使耗材最少，則應讓小路的總長度最短，那麼，為了達到這個目的，點 應該選擇為公路上的何處？
這原本是我以前小學做過的題，不過它好像是一道作圖題，只要通過作圖的方法顯示出如何求出點 即可，但我現在修改了一下，從而成了更難一些的題目。
這裡會用到「兩點之間，線段最短」的知識，不過這兩點卻不是 與 這兩點，而是作出 點關於 軸對稱的 點，即 ，如圖：
從而所謂的「兩點」就是「 點 和點 」。
這樣，讓一條直線穿過 和 ，則會看到一條線段 。而此直線又剛好與 軸有乙個交點，這個交點，就是能讓小路總長度最小的點 。
因此，基於已有的點 和點 ，則知此直線是： 。既然是想求點 的位置，而 又在公路上，即 軸上，因此知 ，所以有： ，即 。
所以點 需要選在 這個位置，從而小路的總長度才會最短。
如果此題還問，這最短的總長度是多少，那麼它自然是等於線段 的長度，這是因為線段 的長度等於線段 的長度加上線段 的長度，其中點 為 。
由於 和 的座標都已經知道，因此這個最短長度——線段 的長度——也就非常易求。
當然，我們也可以採用另一種方法，檢視圖也可以知，這裡面其實有 個直角三角形：
設線段 的長度為 ，則知 的長度為 ，從而知小路總長度為：
將之記為 .
例如，若 處於 的左邊不遠處：
則我們總可以在 內找出一點 ，使得 長度等於 的長度，這樣， 長度加 長度就一定會小於 長度加 長度，這只要依靠此圖中的 和 就可以看出 長度大於長度，從而使用點修出的小路就總比使用點 修出的小路要長。
既然已經已選點 於之內，那麼就知道：
為了算出最小的總長度，那麼讓 ，則得 .
所以點 的 值就是 .
因此一樣可以知道 的位置是 。
2樓：TravorLZH
問題：設f和g為數論函式， 和 為它們的和函式，求 。
根據Dirichlet卷積的定義，有
通過觀察求和符號下的限制條件，我們發現這個求和就是在遍歷雙曲線 下每乙個格點。為了方便求和，設滿足乘積為x的正實數a和b來劃分這片區域：
如圖，根據容斥原理，我們可以通過先遍歷區域A和B內的格點然後遍歷B和C內的格點，最後再減去B內的格點，得到 ，於是：
代入回(1)式，得到Dirichlet卷積的部分和公式：
其中a和b為滿足ab=x的正實數。
令 則 且 ，代入回(2)式得：
為了方便，不妨設 ，則有：
在特殊情況，可以設 或者 ，得到更基礎的求和公式：
現在不妨設 則 ，於是：
x}\right]+\mathcal O(x\log x) \\ &=+\mathcal O(x\log x) \end" eeimg="1"/>
證明：對於所有的s>1，有：
1、 2、
3樓：Epsilon
強答一波
cos(x-y)展開式的推導可以通過取單位圓上兩個向量的點積取得。這兩個向量的點積為cosxcosy+sinxsiny，同時根據數量積的定義又能得出這兩個向量的點積為其中乙個向量的模乘以兩向量夾角的余弦值，即1×cos(x-y)，所以可以推出cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny。
4樓：劉醉白
更新乙個數形結合：
匿名使用者：x+y＋xy=1 x＋z＋xz＝2 y＋z ＋yz＝3 x＋y＋z＝？
①利用幾何意義求最值。
例1：可以轉化為求橢圓上的點到直線x＋y＝0的距離的最值，或者與橢圓有交點的動直線y＝－x＋k的縱軸截距的最值。
顯然是橢圓上這點的切線與x＋y＝0平行時距離最大。
此題不使用數形結合，其他常用方法有三角換元，拉格朗日乘子法等。
例2：求下面函式值域
轉化為求過點(2，3)與單位圓上一點(cosx，sinx)的直線的斜率的取值範圍。
直線與圓相切時函式值取最值。
②構造三角形使用餘弦定理。數學競賽中會出現，我第一看的這類題是怎樣解題這本書中的例子。網上搜到乙個類似的如下。
例：https://
中的剩下的想到了再更新。
5樓：自學生
我用我發現的個人觀點看問題。發現1立方公尺水體物質，是一對重量和容量對立空間和正中核心時間統一原理模型。是1公尺尺度和1公尺秒重量速度的1千公釐*1千公釐=1佰萬公釐立方體的1公尺平方面。
…1公尺和1公釐…立方體，是一對糾纏的量和子的無限空間對立和正中變化時間統一標準的原理模型。我還發現一對六份半徑時間週期統一的六角圓周三角形，是一對2份變化三角形=1份正方形的234和468的內外方正中圓的一對同時存在的方和圓空間對立和正中時間統一的原理模型。
6樓：雙木止月Tong
一更(2023年7月17日)
感覺大家想的都有點高階呀，我就分享幾道數形結合的初等題，自認為有趣的題，如果大家有一點收穫就很不錯了。
【問題】
1.函式 的最小值為？
2.函式 的最大值為？
【詳解】
這兩題分別可以看作平面直角座標系中的距離之和與距離之差，通過幾何關係得到代數的極值。
問題一中函式為：
所以表示點 到 兩點的距離之和，則通過下圖可知， ，最小值為 ：
注：這在初中好像叫「將軍飲馬」問題。
問題二中函式為：
所以表示點 到 兩點的距離之差，則通過下圖可知， ，最大值為 ：
注：三角形任意兩邊之和大於第三邊
====原始答案====
拋磚引玉
【問題】
實係數方程 的一根大於 且小於 ，另一根大於 且小於2，則 的取值範圍是多少？
【詳解】
根據題意，影象如下：
因此，二次函式滿足：
0\\ f(2)>0 \end\right." eeimg="1"/>0\\ 4+2a+2b>0 \end\right." eeimg="1"/>0\\ 2+a+b>0 \end\right.
" eeimg="1"/>
把 看作橫座標, 看作縱座標，可以得到 的取值範圍為是以 為端點的三角形內部：
而 就是過點與點 的直線斜率，
通過影象可知，過 分別是斜率的臨界情況，因此，
在數學和物理中有哪些類似 Lagrangian Laplacian 的詞？
stevenliuyi 語言學上這類形容詞叫 eponymous adjective 名祖形容詞 維基百科上有個相當全的列表 List of eponymous adjectives in English 除了最常用的 ian 或 ean yan 還可以看到些其他字尾，比如像 ic Faradic ...
在數學上，最大的數 最小的數存在嗎？
馬老 根據阿基公尺德公理 性質 最大數不存在，實際可推論出，最小數也不存在。當限定有上 下界前提下，最大數 最小數才可以存在。我認為阿基公尺德公理實質沒有限定上 下界。阿基公尺德公理可以表述為 給出任何數，你總能夠挑選出乙個整數大過原來的數 或者說，給出任何正數，你總能挑選出乙個整數其倒數小於原來的...
有哪些數學函式在數學軟體上作出的影象非常美麗？
汀芑 分享現場隨便yy的一些方程 影象1 sin x 2 y 2 cos x 2 y 2 這個還挺科幻 影象2 x y cos y 還行影象3 tan x sin y cos x y x 2 一堆碎渣子。 這個曲線本身不能形成實心方塊只是太密集了 這個最酷沒有之一 凌亂美哈哈哈哈 幾用來包 非常需要...