1樓：半擬齊次向量場
直接爆算也不是很難，就是計算量稍微大了點。
這裡有乙個有意思的做法。
（1）證明：
首先顯然AE、CF是拋物線的切線，只需證明CF∥AB.
由拉格朗日中值定理知，弧AB上存在點C'，使得拋物線在C'處的切線與AB平行.
現在我們在座標平面內新增沿向量AB方向的電場和垂直向量AB斜向右上方的重力場，記電場強度為E，重力加速度為g，在A點放置乙個帶正電的小球，質量為m，電量為q. 可以調整qE和mg的比例關係使得合場強沿y軸正方向，此時若沿向量AE方向丟擲小球，注意到不同初速度對應的小球軌跡的拋物線彼此關於點A位似，我們總能尋找到乙個合適的初速度使得小球的軌跡恰為題中所給的拋物線. 以AB為X軸，AE為Y軸建立新座標系XOY，設D'為C'在X軸上的投影，設時間引數為 ，所選擇的合適的初速度為 ，則在新座標系中拋物線的引數方程為
注意到小球從A到B的過程中上公升段和下降段用時相同，即上公升段與全過程的時間比為1：2，故水平位移比為1：4，即 ，故D'與D重合，即C'與C重合.
由C'F∥AB知CF∥AB，即CF⊥CD.
（2）解：
設小球在A、C、B的動能分別為 ，並記 ①.
由動能定理及 知 ②.
再考慮A到C的過程，電場力做功 ，重力做功 ,由 知，全過程電場力做功 ，重力不做功，故 ③.
聯立①②③解得 .
即 ， .
解得 （捨去負值），所以AB的斜率為 .
2樓：
小明總是和小紅在一條路的起點終點出發這麼有緣嫁了吧。總有人邊放水邊注水，何苦來哉。雞和兔子放一塊你沒錢再買一塊養殖地嗎。。。。。
3樓：格洛公尺
任意乙個五角星都由乙個五邊形和五個小三角形組成，作這五個小三角形的外接圓，它們除了三角形(五邊形)的頂點之外，另外還有五個交點
證明這五個交點共圓
4樓：譞譞
突然想起來一道不等式，形式小巧可愛。證明說難不難，說簡單也不簡單。
0,a+b=6,證明:\sqrt[3]}+\sqrt[3]}\le2" eeimg="1"/>
如果願意求導的話，其實也不太麻煩。當然其實一行就能證完這裡用到的結論是 0(i=1,2,3),則(x_1+y_1)(x_2+y_2)(x_3+y_3)\ge(\sqrt[3]+\sqrt[3])^3" eeimg="1"/>
這個結論的完整版如下
這是赫爾德不等式的乙個推廣，貌似叫Carlson不等式
5樓：
【更新日誌：3月24日更新Ex1.1,Ex2.1；4月6日更新Ex1.2,Ex1.3, Ex2.2】
隨便答一下吧.
【熱身部分】
Ex1.1如果 則
注:證明出來這個以後, 你就能證素數定理(Prime Number Theorem)啦！！！這個是Stein復分析的第7章的引理1.4哦(滑稽)
Ex1.2以 表示不超過 的最大整數.
(1) 設 是實數, 證明:
(2) 設 是大於2的正整數, 是實數滿足 . 證明:
下面這題看起來像出自線性代數, 但放在高中完全可做.
Ex1.3設座標平面上全部向量的集合是 , 是 中單位向量. 已知從 到 的變換 由 確定.
(1) 對於 中任意兩個向量 證明
(2) 證明 是恒等變換, 即: 對任意的 , 都有.
下面這題中, 當你學了《數值計算方法》後, 這種題想出多少就能出多少, 改編成中學試題是分分鐘的事情.
Ex2.1已知函式 . 是 的圖象. 曲線 在點 處的切線是 , 直線 連線點 與點 . 已知 .
(1)求 的方程.
(2)證明: 當 時, 在平面直角座標系中, 曲線 總在直線 的下方.
(3)證明: 當 時, 曲線 總在直線 的上方.
(4)估計 的近似值.(精確到0.01)
Ex2.2設 .
(1) 用 表示 和 , 並證明 .
(2) 證明: 是上面方程在區間 內的唯一實數解, 從而 .
(3) 計算 .
(4) 在 中, . 以 表示 中最大的數. 證明 162^" eeimg="1"/>.
6樓：
謝Dylan邀。我說一道挺有意思的題目(但想想還是挺easy的)：
Problem(Harvard-MIT Mathematics Tournament 2019). 計算無窮和
Solution.
因此 不過癮的話再來一道：
Problem(Putnam 1999 A4).計算無窮和
Solution.
由於我們知道 的泰勒展開為 ，因此可以得到qwq是不是感覺很有趣...
7樓：Dylaaan
下面這個東西是我在知乎上其他地方看到的，原問題是「有哪些看起來很難但做起來很簡單的數學題？」。
以及，知乎客戶端雙擊[這裡]可以獲得特殊加成~
結論設互異正數 ， 滿足： ，則 e^e" eeimg="1"/>。
這個結論看上去挺漂亮的，事實上，證明只需要用到高中的導數知識。
引理1當 時， ；當 1" eeimg="1"/>時， \frac" eeimg="1"/>。
證明令 ， 0" eeimg="1"/>
因此 在 單調遞增，注意到
因此當 時，
當 1" eeimg="1"/>時， 0\Leftrightarrow\ln x>\frac" eeimg="1"/>
引理2設函式 ，若互異正數 ， 滿足： ，其中 1" eeimg="1"/>，則 m+1" eeimg="1"/>。
證明，因此 在 單調遞減，在 單調遞增
不妨設 ，則由引理1知
因此 整理得
同理 0" eeimg="1"/>，
兩式作差得
m+1" eeimg="1"/>，證畢。
接下來證明原結論：設互異正數 ， 滿足： ，則 e^e" eeimg="1"/>。
證明取對數後，只需證明 e" eeimg="1"/>
1" eeimg="1"/>
注意到在引理2中，令 ，
則 m+1=x_1-\ln x_1+1" eeimg="1"/>
1\Leftrightarrow \ln\ln a+\ln b>1" eeimg="1"/>，證畢。
8樓：「已登出」
1.證明八個相鄰正整數的乘積不會是任何數的四次方
2.如果n是形如3k+1的素數，試證明當且僅當2是n的三次剩餘時，n能被表示為n＝x+27y，其中x和y是正整數
3.若三角形ABC的三個內角A,B,C滿足sinA+sinB+sinC＝1，則該三角形的外接圓與九點圓正交
4.確定出所有的三角形，其滿足各邊邊長為互素整數，且某個角是另一角的兩倍
5.證明arctan1＝arctan2+arctan5+arctan13+arctan34.....，其中的整數為相繼出現的斐波那契數
6.證明存在這樣的四面體，它的稜長和各面面積以及自身體積皆為整數
7.證明有無數多對互異正整數(x，y)，x和y具有相同的質因數，x+1和y+1也有相同的質因數
8.證明對於任意整數n＞6 ，存在兩質數p1和p2，使得 n – p1和 n – p2互素
(先寫這麼多吧)
9樓：槿靈兮
謝Dylan邀。
比如，在2023年的全國二卷的ln2的估值就是很interesting的，；很多年以前有一道高考題，貌似分值有40分：證明勾股定理；你也可以用祖?原理解決一下橢球的體積……總之，有趣的數學就在你身邊，只是你要有一雙發現它的眼睛。
數學中有哪些著名或有趣的數列？
luosw Look and say 數列 它的構造方式如下 對於 由於 是 個 因此記作 對於 由於 是 個 因此記作 關鍵是這個數列 有極限，這個極限記作 為大名鼎鼎的 Conway 常數，同時它還是 次整係數方程的乙個根。 東城居士 下面這個跟大數學家Gauss有關的數列就很著名且有趣！設 0...
參加丘成桐中學數學獎的感受是什麼？
都兩年過去了，這個突然被贊了一下，也結合當下做點補充。最近小學生科研刷爆了網路，因為這太衝擊的三觀了。乙個小學生，做的專案專業性和實驗技巧遠遠超過了大多數本科生和部分研究生。所以的反響也很強烈。而回看丘成桐獎，研究的是數學不是生物，作者只有理論上的寫文章而沒有實驗，且相關作者是高中生。遠超認知 也很...
保研面試中，有哪些有趣的問題？
有乙個同學班裡四個人都進了同乙個營，老師讓他們互相評價對方。還問乙個女生入營的某男生 他們是同班同學 有沒有女朋友。還有 你們這個專業女生是不是比較少，班裡有幾個女生？她們喜歡你嗎 氛圍很輕鬆，哈哈哈哈哈哈 科研掉發小鄒 我一朋友，年年校運會參加跑步，而且幾乎次次第一，她吧，只是想突出自己身體素質好...