1樓：Studio TBsoft
雙曲函式的幾何意義也是明確的，三角函式中的角度（弧度）值定義為圓弧長與半徑之比，如果圓是半徑為1的單位圓，那麼弧長對應的扇形面積，數值上正好是弧長的1/2，因此也可以將單位圓中的角度（弧度）值定義為角度相應圓扇形面積的2倍。
那麼，如果將單位圓x^2+y^2=1換成「單位雙曲線」x^2-y^2=1，將「單位雙曲線」中的「角度值」（也稱為「雙曲角」的「角度值」）定義為角度相應「雙曲扇形」面積的2倍，則在定義了「雙曲角」的情況下，雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切等的定義與三角函式一致。
因此三角函式又稱圓函式，強調在單位圓中定義；反雙曲函式又稱面積函式，因為反雙曲函式的函式值就是「雙曲角」，對應著「雙曲扇形」的面積。
三角函式基本恒等式sin^2 x+cos^2 x=1實際就是對應單位圓x^2+y^2=1，雙曲函式基本恒等式cosh^2 x-sinh^2 x=1也就對應「單位雙曲線」x^2-y^2=1。
2樓：南中國海的一條魚
如果問「山為什麼叫山？」、「水為什麼叫水？」，我們只能說，這是中中國人（漢族人）長期語言交流實踐約定俗成下來的。
但如果問「雙曲函式為什麼要叫雙曲函式」，那麼回答就不一樣了，我們來看一下這個詞，它叫「雙曲函式」，前兩個字是「雙曲」……這很容易讓我們聯想到中學時學過的一種圓錐曲線——雙曲線。「雙曲函式」和「雙曲線」兩個數學名詞中都有「雙曲」這兩個字，這絕不是巧合。
直觀上講，雙曲線就是「兩條曲線」的意思，實際上是因為按照雙曲線的定義，相應的圖形並不是「連續」的。這樣做個比喻，如果沒有地球，地是平的，並且這個平地是乙個沒有邊界的大花園，而花園中有乙個雙曲線花園小路，那麼在其中一支小路上行走的人無論怎麼走都不會走到另一支小路上。直觀上看，真的像是「兩條曲線」，所以這個圖形就被稱作是「雙曲線」了。
然而不是隨便的兩條永不相交的曲線都能叫「雙曲線」。雙曲線有著嚴格的定義：平面上到兩點距離之差等於乙個比兩點距離小的非零定值的點的集合稱作雙曲線。
若雙曲線的實軸與 軸重合，則雙曲線的方程是 ，其中 ， 是定義中所述的兩點之間的距離的一半，這兩個點被稱作焦點，而 稱作半焦距。
值得一提的是，反比例函式的圖象也是雙曲線，反比例函式是形如 （ ）的函式，而曲線 則是雙曲線。學過二次型應該知道，曲線方程 可化為 ，並進一步化為矩陣乘法的形式
對方程左邊做二次型的正交變換，得（ 仍滿足 ）
取 ，則方程將變換為 ，即 ，這說明反比例函式圖象確實是雙曲線，順時針旋轉 後實軸在 軸上。
事實上，雙曲函式就是借助雙曲線定義的，不過這裡的雙曲線不是隨便的一條雙曲線，而是實軸在 軸上的標準雙曲線，即雙曲線 ．六個雙曲函式都是模擬三角函式定義的。首先我們來看三角函式的定義：
設點 是圓 上的乙個從點 出發的動點， 的絕對值為點 運動的路程，若 逆時針做圓周運動則 0" eeimg="1"/>，若 順時針做圓周運動則 ，則各個三角函式定義為：
正弦：余弦：
正切：餘切：
正割：餘割：
實際上，三角函式也被稱作「圓函式」，之所以稱作三角函式，乃是因為三角函式可以用於解三角形。三角函式的引數是任意角，而數學中表示任意角的方法是弧度制，即乙個角當其作為圓心角的時候其所對應的弧長與半徑之比為這個角的弧度。
那麼，雙曲函式既然是通過模擬三角函式定義而來的，那麼第一件事就是應當明確一下雙曲函式的引數。首先，由於雙曲線有兩支，不像圓一樣，因而我們只考慮其中的一支。在定義雙曲函式的時候採用的是雙曲線 的右支。
其次，我們希望雙曲函式的引數能和三角函式「一樣」，但從點 到雙曲線上一點間的弧長很難求出來，既然弧長很難求出來，那麼可以找另乙個用來充當雙曲引數的變數。
我們發現，弧長為 的圓弧，其所對應的扇形的面積是 ，當 扇形面積就是 。這也就是說，三角函式的引數，既是弧長，也是扇形面積的 倍。
因而我們用「面積二倍」的方法定義雙曲函式的引數，也就是雙曲角：連線原點與雙曲線右支上的一點 的直線，點到點 之間的雙曲線弧段，以及從原點到點 之間的線段所圍成的圖形的面積的 倍（當 0" eeimg="1"/>時面積取正數，當 時面積取負數）為點 所對應的雙曲角的大小。若記雙曲角為 ，則各個雙曲函式的定義是：
雙曲正弦： ，函式名讀作/sint/
雙曲余弦： ，函式名讀作/k/
雙曲正切： ，函式名讀作/tnt/
雙曲餘切： ，函式名讀作/kθ/
雙曲正割： ，函式名讀作/set/
雙曲餘割： ，函式名讀作/'kset/
圖中陰影部分面積的2倍就是雙曲角，若這個陰影在x軸下方，則雙曲角是負數。
P. S.：很多課本都是直接用自然指數函式給出雙曲函式的定義，這個定義過於粗暴，以至於讓人很難理解為什麼雙曲函式叫「雙曲函式」。
實際上不應該根據自然指數函式給出定義，而是應該根據雙曲線給出定義。
P. S.：有些資料上把這六個函式分別簡寫作sh, ch, th, cth, sch, xh，反正答主不建議這樣寫，這個不好記也容易混亂，還是在對應的三角函式名後面加個h比較好。
剛剛說了，雙曲角是通過面積來定義的，這很容易讓我們聯想到定積分，因為定積分可以求出圖形的面積。所以我們可以通過定積分來計算雙曲角的表示式。注意雙曲函式都是定義在右支上的，所以有0" eeimg="1"/>
根據雙曲角的定義，有
可驗證於是有有了雙曲角的表示式，我們就可以計算雙曲線右支上點的座標和雙曲角的關係式，根據 和平方差公式，得
所以，這樣根據剛才的計算結果，就可以得出所有雙曲函式的表示式
任意乙個以原點為圓心的圓的引數方程都是 ，一條以原點為端點的射線和所有以原點為圓心的圓相交，交點對應的引數的值是相等的。
那麼雙曲線是否也有這種特點呢？我們仿照圓的引數方程，建立等軸雙曲線的引數方程，即
顯然，我們根據雙曲線和雙曲函式之間的關係有 ，進而有 ，這表明我們建立的引數方程的確是等軸雙曲線的右支。
同時，我們可以很容易看出 （ ）是過原點的射線的引數方程，這說明我們可以通過等軸雙曲線的實半軸（虛半軸）的長度建立雙曲線的右支的引數方程，引數就是雙曲線右支上的點對應的雙曲角。
根據之前我們對反比例函式解析式 的等價變換
我們知道，雙曲線 的實半軸長是 ，而雙曲線 則是由標準雙曲線 通過逆時針旋轉得到的。
介紹反比例函式圖象為什麼是雙曲線，以及雙曲線和雙曲函式的關係（為什麼雙曲函式叫「雙曲函式」），不僅能夠回答我們對數學概念命名的疑惑，有時還能意外地解決一些問題。
比如計算
解：原式
從 到 ，就是直接利用雙曲角是 一步得出的。
再比如計算 ，其中 是由兩條雙曲線 和兩條直線 所圍成的在第一象限內的閉區域。（同濟版《高等數學》第七版習題10-2第19(2)題）
這道題就完全可以使用雙曲函式來算，首先對座標系進行變換 ，這樣，雙曲線的實軸就貼在 軸上了，這時
原式 這時候，雙曲線 就變成了 ，直線 也就變成了 ，因為圖形是由雙曲線和通過原點的直線圍成的，因而我們可以搞出乙個「雙曲極座標系」，這樣問題就會大大簡化。
設 ，則
這樣雙曲線 就變成了 ，
直線 也就變成了 ，
原式 接下來推導一下反雙曲函式，有了 和 ，這個事情就變得更簡單了（根據上文，點 在雙曲線的右支上，所以有 0, -x，畫一下雙曲線看看右支和雙曲線漸近線的關係就可以搞清楚這兩個不等關係，所以 0, x-y>0" eeimg="1"/>）。
反雙曲正弦：
反雙曲余弦： ，因為雙曲余弦函式是偶函式，所以需要確定值域範圍，通常選擇非負實數作為值域，此時 0" eeimg="1"/>，故
反雙曲正切：
反雙曲餘切：
反雙曲正割：
反雙曲餘割：
彙總一下，設自變數為 ，則
其它關於雙曲函式的知識，可參考：
王希：可能是最好的講解雙曲函式的文章
最後， @知識庫 。
3樓：零號的鬼
本來也在很多非正式的地方看到聽到「雙曲函式」這個名詞，但當時不知甚解，第一次在正規的書上看到如下：
（復變函式論）
說一說對之粗鄙的理解：
1.雙曲函式可以看做是複數域下的三角函式的公式模擬得來，但本身定義域還是實數。
2.由於與一般的三角函式有模擬的關係，所以仍然有一些三角函式的性質，例如
和差角公式
微積分公式
（另：一些學物理的朋友和我提到過在物理中有一些實際的運用，但是我不知道……）
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