為什麼彈性力學的基本方程是十五個？

1樓：

這個問題很好

這是因為你學的是線彈性的(不考慮應變梯度)，空間均勻的各向同性材料(不考慮夾雜，各項異性等)的彈性力學。

你可以回想一下，為什麼一點的應力張量有九個分量，而物理方程只有六個。

因為剪應力互等

那剪應力為什麼互等呢，因為微元體力矩是平衡的，所以沒有轉動，所以就不會出現轉動慣量，其實你要的轉動平衡方程就是剪應力互等定理。

那考慮「轉動」情況的呢，當然是有的，其實還用不上樓上說的偶應力理論這麼麻煩的高階彈性理論。簡單的例子就是固體中的剪下帶和流體中的邊界層，他們的典型特點就是乙個方向的變形梯度遠大於另乙個方向的變形梯度，這時剪應變率的變化率不為零。系統的控制方程中，你所說的「轉動」情況是佔主導地位的。

2樓：Usagi-chan

因為你學的是線性彈性力學，力矩平衡會得到tau ij = tao ji，非線性彈性力學的PK1應力就不是對稱的了，建議看一下非線性彈性力學或者連續介質力學

3樓：Ready-Player

考慮轉動的理論當然有

且適合於「巨集微觀」，屬於廣義連續介質理論

我直接說乙個結論吧

「考慮轉動引起的偶應力理論屬於尺度理論，尺度理論會隨著從微觀到巨集觀的過渡逐漸消失」，下圖是伯努利梁考慮偶應力的模型。

modified couple stress theory，具體形式：

1.位移對應「轉角」

2.應變對應「曲率張量」

3.應力對應「偶應力張量」

是基於基爾霍夫板的偶應力理論

Tsiatas, G. C. (2009).

"A new Kirchhoff plate model based on a modified couple stress theory." International Journal of Solids and Structures 46(13): 2757-2764.

關於這個理論的發展，我有小的總結：

不過不得不說，用的最多的並不是Mindlin的理論，而是Yang的修正理論（2002）。