1樓：若漂
理解乙個定理，我個人覺得就是從定理的條件入手，分析給出的每個條件對推出結論的重要性，這樣基本能把定理吃透吧。好唄，廢話不多說，我們開幹，數學人！
我們還是從基本概念入手，
首先談隱函式必然要知道顯函式的概念吧（有些概念我不是嚴格的數學語言敘述，而可能較口語化，但是更加好理解，見諒下）：
顯函式：就是把自變數和因變數各放在式子的一邊，一般左邊是因變數，右邊是自變數。在精確點表達就是解析式中用乙個變數的代數式去表示另乙個變數。
舉例子： , , 。
隱函式：對於乙個具體的表示式 或 ，相當於乙個方程。
因為右邊是「 」，這裡的 不是自由改變的，而是相互約束的，所以存在乙個問題，那就是 能不能通過或 確定乙個關於 的乙個函式關係？這需要什麼條件了？
，即 .
問 能不能通過 來表達，從而能寫成函式關係 ?
1）首先從整體來看，給定乙個 ，有兩個 （ 和 ）與它對應，
所以 與 不是函式關係（因為 不能由 唯一決定）。
那有什麼辦法了？我們要加什麼條件了？比方說，假如我們要求
，則 1）
，則 。————（2）
現在我們要去尋找使 與 成函式關係： 的條件。
2）我們從區域性來看，給定一點 及由 的某個小領域包含的一段足夠下的弧段，如圖：
無論是 還是 的某個小領域包含的弧段都能確定函式關係 (由（1）式和（2）式顯然可知。)；
但是不是每一點都有這樣的性質，例如這樣一點 （或 ）的領域無論多麼小，都不可能表達成 關於 的函式關係 :
因為無論這點的領域多麼微小，總有乙個 對應兩個不同的 。
那麼我們再問，還需要加什麼條件，才能從 確定出 ?(
3)我們不妨先假設在 的乙個領域可以確定 ,我們現在來看能找到什麼必要的條件，
因為有，所以
————（3）
這裡有個前提注意：一般來說，如果 的性質比較好，那麼我們所確定的 也具有相應的好的性質（比如說連續、可導）。
所以我們可以知道，假設 可微，那麼 可導。現在我們對（3）式求導得：
————（ ）
這裡我們發現 要存在，則 ，因為由（ ）式可以得出 ，所以 。
這裡有幾個假設，也就是有幾個條件，總結下：
首先給出 ;其次是在 乙個區域性小領域上可微；最後 要可導則要求 。
所以我們再來看看隱函式存在定理：
有沒有感覺了，是不是一下子就可以1秒鐘牢記而不忘了？哈哈。
2樓：runtimeerror
嚴格證明查閱任何一本數學分析教材
說下一種直觀理解的方式，假設2元情況：F(x,y)，那麼法向向量就是(F'x,F'y)',如果F'y≠0，也就意味著法向方向不是平行於x軸，也就是該點切向向量(因為法向方向和切向方向垂直)不是平行於y軸，於是該點區域性就成立y＝f(x)的函式關係
3樓：
a是n維變數，b是m維變數，f(a, b)是m+n維空間到m維空間的對映，隱函式定理的作用是能夠求b=g(a)這個函式關於a的導數，而不用知道g的確切形式。
4樓：竹官子
不嚴謹地理解了一下
隱函式存在定理(簡略版)：F(X,Y)連續可微 F(X,Y) = 0 若F對於Y的偏導矩陣滿秩（可逆），則Y是X的隱函式
下面考慮兩種情況：
Y的偏導矩陣滿秩：Y動一動 X不動則F必然會改變 (X, Y)就不在F(X, Y) = 0的影象上了所以必須要X動一動讓F一直為0，這就說明 Y移動極小一段距離 X一定會改變乙個X肯定對應乙個Y Y在這點附近是X的（隱）函式
Y的偏導矩陣不滿秩：X不動 Y動一動 F可能不改變仍為0，這樣乙個X可能對應多個Y 就無法確保 「Y移動極小距離 X一定會改變」 所以就無法確定是否存在Y關於X的隱函式了
5樓：銘舜
空間上理解，乙個過原點連續有切線的曲面，用z＝0平面截出來的就是(x，y)＝0，一條曲線。這是曲面的一部分。知道這個了就知道對這個曲面在原點得性質是有要求的。
6樓：shinbade
說得簡單一些吧，現在已知兩個變數之間的乙個關係：F(x,y）=0，問：能否確定出乙個函式關係，即 y=f(x)？
經驗告訴我們，這事經常是可以的。但嚴格來說，必須滿足一定條件！隱函式定理就是告訴我們，什麼情況下可以從F(x,y）=0推出（或解出）y=f(x)。
定理裡的條件，最最重要的是這條： ！這個條件，它保證了每個x只對應唯一的y（區域性）。只有這樣，你才有可能推出
7樓：
以二元函式為例，幾何上來講，就是說可以保證確定的集合中每一點都有切線，並且可以構成平面上的一條不自交的光滑曲線。反之，並不能說明交線沒有切線。比如
8樓：Onlyonly
滿足定理，就保證了該隱函式中，被隱性定義的函式存在，並且保證該函式的偏導數存在。
也就是說，保證不會做白工（整個模型都建好了突然跟你說某個隱函式不存在需要的顯函式，後面所有推導都廢了，乃是什麼心情）
隱變顯太難纏，還可以繞路到偏導那邊，不必硬碰硬。
9樓：
我來說乙個吧。
隱函式定理描述的是：
當一點的導數有某種特殊的情況出現時，
你就要小心了，因為這裡不一定能定義乙個有良好雙射關係的函式。
（也有確實存在只是這一點存在的情況；這個時候需要其他條件）比如橢圓的軸端點。
但是如果沒出現，恭喜你，你理論上可以從隱函式式子裡把這函式解出來。
10樓：「已登出」
看 introduction to smooth manifold 知道為什麼 R^n 有 n 個基
於是這個隱函式就是幾個基上的分量而已/咪啪
11樓：
隱函式定理在後面的微分方程（存在唯一性），泛函分析（不動點），幾何（找顯示表達，我覺得幾何裡面反函式定理用的多些），沒時間說那麼多，你可以找些書來看一下，然後回頭看隱函式定理就好很多
壓縮對映定理為什麼可以證明隱函式定理？
aleph 事實上壓縮對映定理可以把反函式定理秒了 然後反函式定理又可以把隱函式定理秒了 我筆記上圖省事是按這個證明順序記的。滑稽保命 隱函式定理是說，如果 並且 滿足一些條件，那麼在這個點 的區域性，在方程 中可以對每個 解出唯一的 是賦範向量空間 主要想法是，因為 非線性不好處理，我們在區域性對...
微積分中的隱函式定理為什麼那麼重要？
智商稅 橢圓的方程 就是隱函式。函式的本質有幾個。乙個是1939年法國布林巴基學派提出的，即函式是數對集合中的與自變數維度相同的子集，這個是直接從隱函式入手的 乙個是更經典的，函式就是封裝起來的運算。此外，還有所謂的引數方程，它表明了自變數與因變數的截然不同的性質。所謂的 隱函式定理 它本質上是把隱...
如何理解乙個復變函式定理？
EricWong 本質上還是Cauchy積分公式，復變函式除了C R方程與Riemann對映定理，其餘的定理都可以從Cauchy積分公式匯出 所以復變函式最本質的只要記住Cauchy公式就可以了，這也是我覺得復變為什麼簡潔而優美 5772156 本民科來答一下 考慮z沿偏D逆時針跑一圈，左邊的積分，...