1樓：parker liu
@皓雪 的解答沒有說清楚fold的泛性質（universal property)，這裡的fold 就是foldr。具有如下的泛性質：k
=v<===>k=
foldfv
k(x:
xs)=f
x(kxs
)fold函式從List這個遞迴資料型別reduce得到乙個值，而List則是F-alg的不動點，這裡F-alg的函子F a 的定義如下：
dataFa
x=()|
Prodax
我們來看F a 函子的不動點，假設這個不動點是FixF，將FixF 代入到x 中，我們有
data
FixF=()
|Prod
aFixF
在Haskell中，() 和 都是無引數型別，可以看成是Hask範疇中的物件，和Hask 範疇中的終極物件1 是同構的。因此() 和 也是同構的，另外我們把Prod 改為中綴操作符(:)。
於是就有了如下的 F-alg的不動點，也就是haskell的列表型別[a] 的定義：
data[a
]=|a:[a]
根據Lambek 引理，F-Alg 的不動點就是F-Alg 範疇的初始物件，也就是說F-Alg 的任意乙個承載物件x （這是型別變數）都存在唯一的乙個函式（態射）k，從列表型別[a] 得到承載型別x。這個k 也就是fold f v，這就是fold的泛性質（universal property)，如下所示（重複一遍上面的泛性質的定義）。k
=v<===>k=
foldfv
k(x:
xs)=f
x(kxs
)我們取F-Alg 的另乙個承載物件y ，其有如下的唯一函式k1 從列表型別[a] 得到承載型別y。k1
=w<===>k1=
foldgw
k1(x:
xs)=g
x(k1xs
)設型別y 到型別x 存在函式h，根據範疇論中態射的組合性質，有如下的等式存在：h.
k1=kh
.foldgw
=foldfv
根據fold的泛性質的定義，有如下的等式推導：
h (k1 ) = k
<=>h w = v
h (k1 (x:xs) = k (x:xs)
<=>h (g x (k1 xs)) = f x (k xs)
<=>h (g x (k1 xs)) = f x (h (k1 xs))
<=>h (g x y) = f x (h y)
於是我們就得到了函式h 的定義，描述了f、g、h之間的關係。也就有了如下的fold的fusion property。hw
=v<===>h.
foldgw
=foldfv
h(gx
y)=f
x(hy
)以上。
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