1樓：lans
講拓撲的書都很sb，基本是上來就乙個杯子和膠圈的例子，然後接著說拓撲學就是橡皮泥幾何學，極其形象，說完這些之後，突然乙個大轉彎，給出乙個和幾何半毛錢關係沒有的純數學拓撲定義，尼瑪，你這是搞笑呢吧？! 題主除了對2.3.
條件沒有仔細看之外，沒任何毛病，任乙個初學者都會這麼想。
2樓：Lawrence
要理解點集拓撲的定義，可以這樣考慮：
給定乙個點和任乙個子集，判斷該點是否在拓撲意義下與之"鄰近"(是否屬於它的閉包)，如果這樣的關係對每個點和子集都給定了(需要滿足一套公理，叫做閉包公理)，拓撲也就確定了，而連續對映則是保持這種關係的對映，它不會撕裂這種"鄰近"關係。舉個例子，平面上的開圓盤的圓周上的一點不屬於它，但是仍然"鄰近"它，把平面想象成一張橡皮膜，你無論怎麼拉扯這張平面，只要不產生撕裂，這種"鄰近"關係都會保持，而拉扯平面的操作會改變點與點間的距離，度量結構變了，但內在的拓撲結構沒有變化。
3樓：葛蔑
你看一下有一本蘇聯的書叫漫談拓撲學
裡面有拓撲的幾何抽象過程一開始是用公理來描述乙個點和乙個集合如何是「粘在一起」的關係
然後這個原始公理等價於閉包公理又等價與開集公理
4樓：Toy Box
1.定義是無法匯出的
2.拓撲在幾何中有應用，但不代表是幾何的，比如函式空間就可以定義拓撲結構，但是毫無幾何意義。
3.拓撲的集族定義了每個點的鄰域，也就是告訴你每個點附近有些什麼東西，這樣你才能建立極限的概念。
4.拓撲定義的2.3條是說並非冪集的所有子集都是拓撲，需要滿足三條性質的冪集子集才是拓撲，這種定義方式和向量空間比較像，要求拓撲內部的集合對於交和並這兩個二元運算具有封閉性。
（當然，冪集本身肯定是乙個拓撲）
5.可以先看一點度量空間再看一般的拓撲，這樣比較直觀。
5樓：
你應該先有點分析的底子。
知道R^n和連續函式空間中的收斂。
收斂一般用距離刻畫遠近，而拓撲則給沒有明顯的數值距離的情況下定義了開集，從而可以定義收斂。
6樓：klam
完全可以用集合知識匯出？題主你真的看明白了那三條定義說的是什麼意思了麼？
所謂乙個拓撲，說的是在乙個集合上給出了乙個指定方式，來指定哪些子集叫做『開集』。這個指定方式是完全人為的。同樣的乙個集合，完全可以在上面定義不同的拓撲，使得乙個拓撲下的開集在另外乙個拓撲下不是開集。
就比如在實數軸R上有最自然的把開區間叫做開集所匯出的拓撲，R上還可以定義另外一種拓撲，離散拓撲，也就是把R上的所有單點集叫做開集所匯出的拓撲，這兩個拓撲下的開集很明顯是不一樣的。而且在實數軸R上還可以定義更加稀奇古怪的拓撲。
所以題主你為什麼會覺得這些完全不一樣的指定方式可以用集合知識匯出？我甚至都無法理解你到底想錯到了什麼地方去了。所以只能建議你再去看看書上的定義和例子。
又或者像 @Yuhang Liu 說的那樣，『先去看看歐氏空間中的開集閉集長啥樣』。
關於拓撲和幾何的關係。簡單來說所有的幾何學的研究物件都是拓撲空間，只不過不同的幾何會在上面新增不一樣的條件，使得它所研究的拓撲空間帶上某個附加的結構。比如微分拓撲相當於是在研究一種叫做『流形』的特殊的拓撲空間。
微分幾何則可以看做是在微分拓撲的基礎上加上叫做切叢和餘切叢的結構，黎曼幾何則是在微分幾何上加了乙個黎曼度量，從而可以考慮『距離』和『彎曲程度』等問題。
一般來說，附加的結構和要求越多，所研究的物件就越具體，研究的方法和結果就越多。
7樓：明淵君
你認為的顯然只是你覺得顯然，其實並沒有那麼顯然……
三元素集上可以有很多子集族，如上圖所示的子集族可以定義為X上的拓撲。但不是每個都滿足定義的，例如下圖的兩個另外，點拓和幾何的關係其實不是很相近，點拓和分析掛鉤比較多。代拓和幾何更相近點
8樓：Yuhang Liu
1。「匯出定義」在我看來是個莫名其妙的說法，定義就是定義，不是定理，不存在什麼被「證明」「匯出」。你很有可能還沒理解拓撲的公理化定義在講一件什麼事情。
它是選取了拓撲空間X的一族特殊的、滿足特定性質的子集作為開集，不是把所有的子集都定義成開集。至於為什麼要滿足那幾條性質，主要還是對一些具體的拓撲空間的開集族所滿足的性質的抽象。你先去看看歐氏空間中的開集閉集長啥樣，驗證一下它們確實滿足開集閉集所需要滿足的那幾條性質（交並的封閉性質）。
如果你不知道歐氏空間中的開集閉集長啥樣，你應該先去學數分，而不是直接看拓撲。
2。拓撲和幾何還是有區別的。不過對題主這個層次的學生也很難解釋清楚區別在哪。
幾何主要是有rigidity，有剛性，度量幾何有度量、長度，微分幾何有曲率限制，辛幾何有non-squeezing theorem，等等，這些都是幾何的剛性的體現。拓撲則是很軟的東西，俗稱「橡皮泥幾何學」，可以任意揉捏，只要不撕裂不貼上。它裡面沒有長度沒有大小，沒有任何標尺，它只關心形狀，只關心「有幾個洞」，只關心各種拓撲不變數；所以它和幾何側重的地方還是不一樣的。
為什麼點集拓撲學裡的開集和鄰域看起來像是迴圈定義
楓聆 拓撲空間的定義有很多出發點，Hausdorff從鄰域公理出發給出了乙個鄰域拓撲的定義，這種定義方式，讓我們從度量空間到拓撲空間，理解起來似乎要更形象一點，但是並不簡潔，所以拓撲空間更一般的定義是使用開集來定義。無論是從開集公理來定義拓撲空間，還是從鄰域公理來定義拓撲空間，兩者都是等價。但是我們...
為什麼拓撲的連續對映不倒著定義？
窩瓜 設X,Y為拓撲空間，你所說的應該是 對映f X Y定義為連續對映，當且僅當 iff 對每個X的開集合U,f U 為Y中的開集 那麼若按照這個定義，設U,V為X的開集，因U V為X的開集，應自然知道 f UV 為Y中開集，但我們僅僅知道 f UV f U f V 因為 f 未必是單射 而標準的定...
為什麼拓撲基和拓撲子基的定義方式沒有統一的標準？
圖騰 兩者的區別很明顯呀。所謂拓撲子基在本質上就是想體現生成的想法，也就是隨便給你一些集合 當然需要是乙個覆蓋 由它們生成的最小拓撲。這個想法非常自然。而拓撲基的話是更加常用的概念，它要求所有的開集都可以由基的並集運算給出。 王鑫 在John B.Conway 的 A Course in Point...