1樓：楚若兒
前面大神回答的都很好。我也想到乙個類似的例子予以佐證。
小學數學有一道題是這樣。
有280個體積為1cm的小方塊壘長方體。怎樣使得表面積最小？這時，體積不變，只需要重疊的部分多。
發現，越接近正方體，重疊的部分就越多。所以本題的答案是，當長，寬，高最接近的情況。因為和周圍的方塊接觸面多，把所有稜角都均勻地利用上了。
靈魂畫手上線。。
所以這道小學題的答案是，長~寬~高分別為8-7-5時，此時面積為262。
那麼如果將這280cm的方塊無限擊碎，體積趨向於0，任意組合之下，球是最緊密接觸的。（有點類似均值不等式的感覺。自然界喜歡均衡）
2樓：AbmiP
微積分的思想解決這個問題很簡單：
只需要一條定理：
同樣的面積下，圓的周長最小。
證明：首先，任何乙個三維物體的體積可以被看做垂直軸上無數個柱體的疊加。
可以證明，對於任何乙個三維物體，其表面積一定大於等於在每個水平剖面和其面積相等的圓的組合體。
這樣的組合體一定存在，因為連續水平剖面的面積是連續的，所以對應的圓的半徑一定是連續的。
這樣的組合體，其表面積一定大於等於與在每個水平剖面與其體積相等的同心圓的垂直疊加（顯然，因為直圓柱的表面積小於同體積斜圓柱），這樣的疊加體一定是個旋轉體。
因為旋轉體的體積是截面面積繞旋轉軸轉180掃過的體積，表面積是周長掃過的面積，所以問題又變成了求同樣的面積下，周長最小的水平圖形，又是圓。
所以我們最後得到的同體積表面積最小的幾何體滿足：
1. 每個水平截面上都是圓，而且這些圓的圓心在一條鉛垂線上。
2. 垂直截面是乙個圓
這樣的幾何體，不就是乙個球體麼？
請教如何證明同等體積時球體表面積最小？
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