1樓：Ruiliang Gao
基本上來說點集拓撲對大多數數學的主要貢獻就是提供了乙個語言，有乙個辦法能很快的說明我們想要研究什麼樣的性質而已。至於說大多數定義的區別，包括各種緊性的區別，各種分離性的區別，在實際中並沒有什麼作用。
粗略的來看點集拓撲是個很定性的學科，偏偏點集拓撲裡的核心概念homeomorphism是個很強的概念，這就讓我們處在一種「除了極少數拓撲空間，我們基本無法描述即便是看起來就不同的拓撲空間之間的差別」的尷尬境地。
於是就有了代數拓撲這個更定量的學科，我們可以用群的生成元來刻畫拓撲性質，比如說上面的一條閉路能不能連續收縮為一點，這樣的閉路有多少種。我們有了一些放寬的等價關係，比如說homotopy什麼的，我們又用了更強的工具，比如各種complex來拆解拓撲物件，各種正合列來從簡單的算出複雜的，最後終於我們可以比較有效的區分一些看起來就不一樣的拓撲空間了。
至於說代數拓撲有什麼用，幾乎各個地方都有用。非線性分析裡面的morse index理論就是傑出的代表，原本的morse theory是微分拓撲的乙個基本的內容，推廣到無窮維就可以用來研究多解性了，這裡面就有張恭慶院士的傑出工作以及龍以明院士團隊的一些工作。更何況還有各種各樣的依託於maslov指標建立的同調論，這些東西都是用了代數拓撲的框架。
其實到現在就有種感覺，local的東西分析的工具往往能奏效，但是global的東西就需要拓撲和代數的一些東西了，因為他們對於物件的要求足夠低，往往能提供乙個全新的視角。
至於說怎麼學，恐怕最適合一般人的方法還是先學好數學分析和實變函式，大致了解了歐式空間的拓撲是怎麼回事之後再抽象化是很好的選擇。這樣可以比較好的理解拓撲的定義，基本的開閉集以及分離性等等概念，建立起乙個直觀來。當然也可以直接從抽象到抽象，但這樣就可能會被第一頁拓撲的定義勸退了。
2樓：
我至今已經完全不記得點集拓撲課上學了些啥了，就記得 Tychonoff theorem（哇這個定理真的太重要了，金色傳說）。除此之外大概就是一連串的概念：緊性、連通性與道路連通性、商空間……其實說實話這些東西我個人都還是從數學分析的角度去思考和理解的。
然後Baire綱定理現在已經叛逃到泛函分析門下去了（點集拓撲課現在都基本不講這個定理）。哦對了我記得我是學過基本群的，但後來做研究只用過一些同調論，有關基本群的那些東西也都還給老師了。
所以我建議理解好點集拓撲，最佳的辦法就是結合數學分析、泛函分析一起學！其實點集拓撲裡的很多概念、思想我都是通過分析課去理解的。
至於代數拓撲嘛，大佬的回答已經說了，這是乙個比點集拓撲強大太多太多的東西。學了點集拓撲，你會發現你能夠聽得懂現代數學的「語言」，但你（幾乎）做不了任何事情（換句話說，點集拓撲是如此基本，以至於它已經內化為一種語言了）。要做一些拓撲上的工作，甚至不僅是拓撲，包括很多非線性分析的工作，基本的工具都是要等到代數拓撲和微分拓撲中才能學到。
其實我覺得學完數學分析、復分析（弄明白那些基本的拓撲概念）、抽象代數之後就可以學代數拓撲了，總之應該盡快接觸代數拓撲和微分拓撲才是。
3樓：H.N羅巴切夫斯基
前面已經說了《topology without tears》，我自學過這本， 可以說很友好 ，不用什麼太多基礎。課後習題也容易一些 ，裡面有很多有趣的東西，很多經典的證明。一開始便是拓撲空間的的定義，熊老師那本拓撲是我們的課本，是從度量空間講起的，不如前面的友好。
另外經典munkres 感覺和熊的差別不大， 當然講的比熊的多 。我還看過一點armstrong的，話很友好。我只學過一點點拓撲 ，基本的定義概念而已僅供參考……
4樓：高宇飛
芒克里斯的《拓撲學》在點集拓撲講完後有這麼一張總結，如果把這上面的題目都做一遍，我想你會昇華的....
PS：本科時候的期中作業...簡直痛苦不堪....
5樓：
渣學科，沒用，搞代數拓撲的人妹子都劈腿搞深度學習的了；上次幫乙個妹子介紹，連搞傳統機器學習的都不要，一看到搞深度學習的就高興得合不攏腿：寧可在relu上哭也不在kernel上笑
6樓：Dialektik
我覺得需要記住的是，點集拓撲是分析學而不是拓撲學，歸根到底還是一門教你怎麼把連續、逼近等等概念說清楚的學科，在方法和風格上也更接近分析（e.g.作為泛函分析的一部分的拓撲向量空間理論、抽象調和分析etc）。
不要看到名字裡有個拓撲就真以為自己在學拓撲了。
7樓：
記得sutherland寫的那本Introduction to Metric and Topological space還挺適合初學的。
一開始學不會，後來索性就把老師給的lecture notes抄了兩遍，開始慢慢理解。
定義和基本的證明要隨手能寫出來，然後搞清楚關鍵的幾個概念，比如compactness，connectedness，completeness，complete metrisability這些東西。
這個學完了就只是入個門而已。另外有點可惜沒繼續學數學學下去。。
8樓：Yuhang Liu
拓撲我自學的時候是看的尤承業那本《基礎拓撲學》，這本基本就是Armstrong的《Basic Topology》的精簡版，所以我建議能接受外文教材的直接去看後者。然後還有一本輔導書叫做《拓撲學中的反例》，適合學過基本概念、想檢測自己對概念理解程度的人看。
至於說如何看待代數拓撲，我只能說代數拓撲是比點集拓撲強大太多太多的工具了。。你學了點集拓撲以後，基本就是知道了各種東西的定義，但是幾乎做不了多少有意義的事情。就好比學了集合論不等於學了基於集合論的整套數學體系一樣。
你只學過點集拓撲，你怎麼證明不同維數的 不同胚？對於低維的情況你可以用挖點然後利用連通性的不同來區分 ，然後你腦子稍微轉一下也可以用挖點然後形變收縮到球面、然後用同樣挖點的方法證明 不同胚來證明 不同胚。那麼更高維數呢？
所有維數呢？這時候，只要你學過同調群，就可以用同調群來證明不同維數的球面不同胚，從而證明不同維數歐氏空間也不同胚。其實我覺得學代數拓撲的意義還是非常明顯的，不同的拓撲不變數就是拿來區分不同的空間的，只不過這些不變數不再是簡單的數字，而可以是乙個群等等。
9樓：dhchen
第一感覺是，熊金城那本書的思想體系太古老了，換一本至少含有net和filter，並且貫穿使用這兩個概念的書比較好，有了這兩個概念，特別在理解好前者的基礎上，很多結果會很自然，因為net是sequence的自然推廣。而sequence理解起來有很自然，只要明白net有哪些奇怪的地方（比如convergent net不一定bounded，也沒有compact tails），那麼學明白基礎的拓撲應該不算太難。因為這兩個概念在刻畫最重要的「連續性」和「緊性」這兩個概念上是非常好用的：
利用filter證明Tychonoff定理也是非常簡單直白的(這個定理和選擇公理是等價的)。
對於分析來說，理解好連續性和緊性那麼很多問題就解決大半了。個人感覺Munkres的書和kelley的GTM都可以。特別是後者，net和filter都講了。
前者只講了一點net，寫上純粹是參考而已。對了，infinite dimensional analysis的前幾章講拓撲對於我這種只是拿來用的人也是夠的。這個講net和filter也是很好的。
至於代數拓撲方面，我還是留給專業人士來談吧。
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