1樓：
實變函式忘光了，坐等高手回答。
泛函分析裡最重要的可能是Spectral theorem吧，還有Riesz-Markov-Kakutani theorem，Plancherel thm，Gelfand-Naimark，Lax-Milgram等等。
拓撲中更多的可能是會問你定義或構造吧。重要的定理可能包含Mayer-Vietoris sequence，Lefschetz fixed point thm，Kunneth lemma，poincare duality，homotopy theory, constructing Eilenberg-McLane spaces，homology of fibrations, thom homomorphism，K0, K1, K2 and Quillen K-theory等等。
啥你說點集拓撲？那重點看看定義，例如Hausdorff space，connectness，compactness，fundamental group等等。
2樓：Yuhang Liu
實變：Lebesgue測度和積分的構造，Lebesgue控制收斂定理，Fatou引理等等；
泛函：Hahn-Banach extension，凸集分離，開對映閉影象等幾個等價定理；Baire category theorem；Riesz representation theorem; 譜理論與緊運算元的譜等等；
拓撲：分離性公理、第一第二可數公理；Tietze-Urysohn Theorem；覆蓋空間與基本群；常見空間的基本群和同調群等等。
這裡當然沒有列舉出全部內容，只是我認為比較典型的一些內容，如果我改天再寫說不定答案又不一樣。我覺得要知道這些內容、會一些簡單的應用才能算學過這些學科，不然只能算「聽說過」這些學科；至於說哪些內容重要，我只能說教材上的大部分內容都很重要——對於後續數學學習而言；不過如果這幾門課程就已經是你計畫當中最後階段的數學課程，學完之後不打算學數學的話，那其實了解了解、開心就好了～
不學高等代數能學實變函式和泛函分析嗎？
書痴 實變函式學函式，主要用到基礎分析學，即起步數學分析。泛函分析也是分析學，但主要談空間，而且談的空間都是無窮維的。所以，如果不首選吃透高等代數上面的線性空間和有限維空間的話，壓根不存在看得懂泛函分析一說，而且很有可能連實變函式這一關都過不去。 yyyqqq 實變可以，只需要數分學了就行。泛函不可...
夏道行 《實變函式論與泛函分析》 2 3 2節證明的疑問？
dhchen回答中提到的算兩個不等式的方法是實分析裡證明等式非常 標準 的方法，你可以在很多書查到 比如Folland Real Analysis 2nd Theorem1.11 Royden Real Analysis 4th Section 17.3 Proposition 5 周民強 實變函式...
實變泛函都是很容易的課，為何說 實變函式學十遍，泛函分析心犯寒 ？
只是調侃的梗而已。說難易，都是相對而言的。在本科階段，實變泛函相對之前的無論是數分高代，還是復變常微，或者什麼概率統計這些，難度和抽象程度上都有了很大的跳躍。對於大些非985,211的數學專業來書，實變泛函很有可能已經是本科階段最難的課程了，那麼根據課程名稱的諧音，調侃一下，也是很正常的。當然相對於...