1樓：AoPop
如果能在函式空間找到一組正交基，將任意函式在各個基上的投影之和就是該函式本身，如果這組基是有一定規律可循著可以表示成級數的形式。
所謂收斂是針對數項無窮級數來說的，函式項級數乙個自變數就對應乙個數項級數，數項級數是可能發散的。也就是只有在收斂域這樣的正交分解才會存在。
推廣來看，不一定正交，而是等價的基底也能分解函式，但本質還是正交基底的線性變化。
比如：傅利葉級數、泰勒級數
AoPop
2樓：
函式項級數的確是可列項函式求和，而在自變數取定時，又可以看作是數項級數求和。關於前一點，最直觀的就是傅利葉級數，將乙個函式分解為線性無關的三角函式之和。
但是你要說這樣定義函式項級數，那麼對於不收斂的函式項級數（也即是收斂域是0），就不能找到任何函式，使之等於這些函式項級數之和。
當然啦，你硬要說數項級數也可以看成常函式求和，最後若是收斂仍舊是常函式，也可以啊！這樣就能把數項級數和函式項級數統一起來，是個不錯的角度。
3樓：陌歸
級數是指把很多個函式加在一起的那個整體（和的函式表達）。把函式分解為很多項的和叫展開，這種展開可能是相等的，也可能是一種極限，比如泰勒展開。
4樓：
關於本問題@曹夢迪 先生已經說得很好的了，鑑於題主問題中透露出的某種誤解，我想還是說一下比較好。
函式的級數展開只有在等式右邊的級數收斂域內才成立，這個收斂域，很多時候不等於函式的定義域，題主可以近似認為級數展開就是在某一段上用函式項級數來代替原函式，離開那一小段，就不成立了。
5樓：
觀點有點反，應該是求和而不是拆開。另外，無窮和與順序有關(除非絕對收斂)，光說可列不明確。
不過這個提法還是有點價值的，人們常常將複雜的函式用一列簡單的函式來逼近，通過後者研究前者。
6樓：
關於級數的定義最好還是去看看任意一本數學分析的教材吧，不嚴格的說就是乙個數列的和。數列可以是數項的，也可以是函式項、矩陣項等的。
7樓：陳哲聖
級數是從數列定義出來的，對數列的所有項求和就是級數。
級數是指乙個和而不是乙個過程。題主所說的函式分解成可列個函式的和，應該叫做級數展開，如泰勒級數展開，傅利葉級數展開等。
遙想當年大一數學分析考了99分，現在多少還能記得點。若有不對還請批評指正
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