1樓：
由級數定義容易證明，
故只需證明 和 即可。
定義 為圓周長與直徑之比，那麼有
對 ，定義 顯然 ，我們只用證明 和 即可。
由 的級數定義容易得到
.由以上兩式容易得到乙個關於 的二階方程
.求解並代入初值就得到 。利用 式又得到 。
2樓：
剛才躺床上突然發現，把 換成乙個未知量，不就得出了兩角和的那個公式嘛（叫什麼啊想不起來了）
就是 就是
於是大部分公式都可以推出來了？
emmmmmm……三點了，看來是睡不著了，不過我似乎有了一點有趣的想法，下面進入瞎jb證環節：
假設已知 為週期函式，也即
由於 得
下證有最小正週期
假設 其中 與 不可用同一實數的整數倍形式分別表達，換言之， 不可公度，
則易證 沒有最小正週期，於是我們可以構造乙個週期列 ，使得 ，易證 為連續函式，於是
這顯然是錯的，因為通過簡單的級數運算我們知道 0" eeimg="1"/>
因此，綜上所述，如果 為週期函式，那麼它有最小正週期
但是要怎麼證明 是週期函式呢，由於熬夜過度我已經沒有思路了（倒
剛好在複習高數，摸魚上知乎
樓上有個答主列了個框架，感覺已經非常完善了。我就來個比較菜雞的。
已知 且
求證： 與 均以 為週期
可以證明，在全直線上， 絕對收斂，所以
其中， 為奇數時， ， 為偶數時，
於是有，
（這裡補充說明一下：
事實上是下面這個無窮陣列，豎著一列一列依次求和
而 則是橫著一行一行來的
則表示 列首個非零項所在的行數
可以證明求和順序的改變不改變這個級數的和
觀察可以發現奇數列(由於沒用草稿紙所以這裡好像有些亂，實際上這個陣列的第一列是 的情況，換言之奇數列中 為偶數）求和的一般形式是
而偶數列求和的一般形式是
由給定條件
可以知道，奇數列求和後為 ，偶數列求和後為
換言之，上述陣列求和後變回了
也就是證明了， 以 為週期
同理，可以證明 以 為週期
顯然，這個方法過於菜雞，只是用了富比尼定理。而且 還事先給出了兩個條件。
要通過類似的思路得出三角函式的一系列性質，我覺得工作量非常大，最好的方法還是回歸幾何意義。像樓上答主那樣就感覺非常好了。
3樓：
回答取決於如何看下面這兩個等式：
如果你把它們看作已知正余弦函式的Taylor級數，那麼沒有什麼要證明的：等號兩邊的函式性質相同，週期當然是 。
但如果你把它們看作正余弦函式的定義式，題主的問題就是乙個自然的問題：怎麼證明這兩個「三角函式」與高中數學裡通過比值定義的正余弦函式是一回事（比如以 為週期）。一種較「簡單」的方法是用常微分方程初值問題最大解的存在唯一性。
但剛接觸數分的時候還沒常微什麼事情。
下面是Rudin的《數學分析原理》裡的另一種處理。（這裡只列出步驟。有空把細節補上。
值得注意的是這裡重新定義了常數 ，然後證明了這個常數的兩倍是平面上單位圓的周長，與我們「熟知」的圓周率一致。）
定義冪級數 。
證明 ；其中指數函式 定義為
（順便說一句，指數函式的等價定義有好幾個，這個定義最接近高中數學課本裡的指數函式「定義」。）
定義 於是有
。另外， 。
證明存在最小正實數 使得 。定義 。
證明(a)函式 是以 為週期的週期函式。
(b)函式和 是以 為週期的週期函式。
(c)如果 ，那麼 。
(d)如果 滿足 ，那麼存在唯一的 ，使得 。
證明曲線 （的像）是平面上的單位圓。
證明 證明 ，其中 和 是高中數學裡通過比值定義的三角函式。
如何理解正弦函式的傅利葉變換？
包子 把虛數單位這些當成常數，通過積分公式容易得 然後你會發現。這貨只有在 的時候才有實數解正無窮大 其他都是虛的 這個東西叫狄拉克函式。剩下的你就都知道了。 水木八刀 我猜題主的問題有兩層意思，一是虛數幅度怎麼理解，二是delta函式如何理解 首先，cos 和 sin 的傅利葉變換都會出現delt...
由函式的無窮級數如何得到其反函式的無窮級數？
首先將座標原點移到 影象上的某一點 不妨設 此時已知 欲求 只要將 代入第二式並比較同階係數便可。即 得方程 這個方程組當 時 這是區域性反函式存在的充要條件 顯然可以逐次求解，解出的展開式在某 鄰域收斂 算收斂域用解析函式分析 這就是反函式泰勒展開係數的反演公式。例一0 eeimg 1 此時 解得...
如何從ELF 檔案裡找到main 函式對應的原始碼檔案路徑？
燈籠 以乙個簡單的C檔案做例子 cat main.c include int main 編譯的時候指定 g 這樣ELF檔案裡面回保留符號資訊，符號表維護了位址到行號的關係 gcc main.c g 通過readelf 檢視 main 函式的位址 readelf a a.out grep FUNC g...