1樓：cvgmt
直觀上看。
原來有乙個函式 f
然後我們把 f 分解，分解的方法是往無窮多個三角函式作投影，然後得到分解的係數。(傅利葉係數)
這個時候，函式 f 已經分解成無窮多份。
現在我們再把這無窮多份疊加起來(傅利葉級數)，由於分解成無窮多份，疊加回去不一定能回到 f ，除非 f 足夠好。
2樓：asdasd 8321
這就好比乙個向量總可以寫成它的分量的和。
當然，在無窮維空間裡不一定成立，所以必須對函式的光滑性做一些限制。
先把這個想明白了，學習平方平均逼近，帕塞瓦爾等式之類就輕鬆多了
3樓：
Fourier 級數不必是點態收斂於 的．然而如函式 是連續可微的，那麼它是點態收斂的。實際上，我們有：
定理.設 是連續、週期及分段連續可微的．那麼 的Fourier級數一致收斂於 。
先證明乙個引理。
引理.設 是連續和週期的．如 的Fourier 係數 滿足 那麼 的Fourier 級數一致收斂於 . 特別地，對每乙個 ， .
引理的證明：引理的條件蘊含了Fourier 級數 一致收斂．記極限函式為 . 那麼函式 作為連續函式的一致極限也必然是連續的。
因為Fourier 級數也依 範數收斂於 , 由此得出 。由於 均是連續的，範數的正定性蘊含了 . 由此就完成了引理證明。
現在來看定理的證明。
定理的證明： 設 定理所述且 為 的Fourier 係數，令 是 的連續導數記 是週期函式且對每個 在半開區間 上與 相同。令 是 的Fourier 係數，則
由分部積分得
當 時，有
對於 ，總有 ，因此 ，故
由此得出 。由引理知，定理獲證。
4樓：一罐魚
首先，不收斂。在未給定原本函式的光滑性的前提下，存在函式使得其Fourier級數不點態收斂到原本的函式。以我對Fourier analysis淺薄而又懵懂的認識，這是乙個很基本但很重要的問題.
1.任意給定可積的函式，它的Fourier級數 收斂到給定的函式，這是因為 空間是乙個Hilbert空間，拓撲上它是完備的.
2.任意給定（分段）連續的函式，它的Fourier級數「平均點態收斂」（對不起我不知道名字，它是Fejer kernel的卷積）到給定的函式.這是因為Fejer kernel的極限是 函式.
3.任意給定【（分段）連續光滑】的函式，它的Fourier級數點態收斂到給定的函式.
可能你說的是第三個給出的收斂性，這個的證明依賴於第乙個收斂性。最初提到的不收斂的原因是Dirichlet kernel 不（在廣義函式的意義下）收斂，但導數的連續性使得我們可以把不收斂的那部分抵消掉，因此收斂.
所有的內容都可以在Stein的Fourier Analysis的前三章找到。
5樓：
(這個條件作為應用基礎已經完全足夠了，所以其實可以點到為止)
這個問題可以理解為考察傅利葉級數基的完備性，對應的函式空間是復平面單位圓上的可積函式，fg內積定義為f與g共軛乘積在單位圓上的積分/2pi，即厄爾公尺特內積。
可以證明e^inx這族基正交，從而很自然地得到傅利葉展開式的逼近是這族基下的乙個最佳逼近。
但上面定義的那個函式空間是個準希爾伯特空間(不完備)，更進一步，把函式空間完備化，乙個例子即可測函式空間L2，考慮傅利葉級數基的收斂性可以更加自然：
連續函式在L2裡稠密(Lusin定理)，三角多項式在連續函式空間稠密(Stone-Weierstrass定理)，即得。
(不過這幾個定理涉及實分析內容，不做展開)
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