1樓：
具體如何計算此極限，之前的答主已經說的很好了。這裡說下Mathematica的問題。既然知道研究的是 的極限，那麼顯然應該輸入如下命令：
當你直接求極限的時候應當考慮左右極限是否存在以及是否相等。若從負半軸接近 ，在 取形如 的點時級數總有某一項不存在，因此壓根就不存在極限。Mathematica當然也知道這麼回事：
因此這個極限求不出來的鍋不由Mathematica背。
另外關於這一類極限貌似有個比較generalized結果：
設 函式 非負且在 為凸函式。若 ，那麼
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（鏈結裡的那層樓應該是把 誤寫成 了....）
2樓：寨森Lambda-CDM
我繼續vstal的回答好了，因為他幾乎就把題目做出來了。。。
他已經證明了： 0,\ \sum_^\infty\frac=\lim_\int_0^y\fract}=\int_0^1\fract}" eeimg="1"/>
最後乙個等號是變上限積分的連續性
（其實他已經做完了，我剛寫完這個回答的時候他就已經補充好了。其實下面我做的太麻煩了，這個可以直接夾逼的，但是我沒有注意到。所以建議移步風語和Vstal的回答。
下面的回答大家看看就好~）
記 ，則問題就轉化成求極限。
有些人可能聯想到了含參變數的積分：當 在矩形區域上連續時， 在對應的乙個區間上連續。可是此時 在 處是不連續的，有點困擾。所以下面用 語言處理。
對於任何 0" eeimg="1"/>（順手限制一下 ），總可以找到合適的 0" eeimg="1"/>，使得當 時， （這個比較明顯， 我就不具體寫出來是多少了）
此時 （注意這些被積函式都是正的，我就不打絕對值了）
對於第乙個積分，被積函式 ，因此第乙個積分
對於第二個積分，被積函式 ，因此第二個積分
故
把這幾行串起來就有 ，證完。
3樓：Vstal
不請自來
我的思路是逐項求積分，利用阿貝爾引理以及冪級數的逐項積分但是最終要解決乙個問題就是計算 這個積分，但是如果用一般的求原函式的方法很難行的通，但是我也不太清楚這個定積分有沒有什麼計算技巧。
現在參考了@風語的回答，補充如下：
不難發現 0" eeimg="1"/>時，有： \frac>\frac" eeimg="1"/>,前後兩者的積分在 時的極限都是 ,利用夾逼定理即可得解，對於 的情況可以模擬。
有乙個很經典的計算例項就是計算交錯級數 ,它是 時的乙個特例。
有沒有一些關於物理的詩？
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