1樓：尤拉
其實老直觀了，其結論的直觀性下面的回答一抓一大把，這裡說一下證明思路有多自然(直白)。
現在，你有乙個同態φ:G→H，它要是個雙射，也就是個同構那是最好。但萬一它不單不滿咋辦？創造唄！
我們知道，乙個同態是單的充要條件是kerφ=。萬一kerφ有多個元素咋辦？
管他，直接重新構造乙個群，把kerφ當么元就行。也就是說，我們取商群G/kerφ就行了(當然，要先證明kerφ是G的正規子群)。
讓f滿就更簡單了，直接強行限定值域為imφ。搞定！
然後……就同構了……
頓時索然無味……
2樓：TravorLZH
本文使用 Zhihu On VSCode 創作並發布
為了全面地認識這個定理，我們有必要先從群同態講起：
若f是到的群同態（group homomorphism），則對於所有的均有：
若f是雙射（bijection），則稱群G和H同構（isomorphic）即。
由於乙個f是雙射當且僅當f同時是單射（injection）和滿射（surjection），所以我們可以先來研究一下f的性質。
為了便於後續的推導，讓分別表示G和H的么元（identity element）。
f由於是單射當且僅當對於所有的有。此時使用消去律可得：
而事實上當f不是單射且時該式依然成立，因此我們把G內所有能被對映到的元素集合成為它的核（kernel）：
因此f是單射當且僅當。
即使G的核不是，我們也能夠通過從G構造乙個新群來構造單射。但在此之前，我們有必要先研究研究的代數性質：
對於所有的均有，所以是運算封閉的。
因為的運算繼承了所以上的運算滿足結合律
由於，所以存在么元。
對於，有，所以也是關於元素求逆運算封閉的。
至此，我們得知，即G的核是G的子群。事實上，對於所有的和均有：
因此，即G的核是G的正規子群。
由於，我們可以用它來構造商群。同樣地，我們可以在f的基礎上定義乙個新的對映使得對於每乙個陪集均有
通過商群的性質易知是群同態。現在假如則：
因為是滿射，我們便得到：
又根據的陪集就是對的劃分，有。綜上所述，我們便得到了群同態基本定理：
總而言之，以群同態為起始點，通過研究它是否單射我們發現了群的核；通過研究核的性質我們構造了商群；最後利用商群的性質我們發現可以在商群上建立同構對映。於是，群同態基本定理就被發現了。
3樓：
樓上這些，同態基本定理都能扯一堆範疇論之類的我也是服（當然同態基本定理確實是普遍現象），知乎這一點真的很讓人不屑
其實群同態基本定理說明的是乙個很樸素的事實：即如果乙個對映保持群的運算，那麼小的那個群就是大的那個群的某種意義下的壓縮，那個「某種意義」指的就是作商群的過程。是先有「保持代數結構不變的對映」，然後我們才想到去構造商群這種東西，而不是反過來。
如果還覺得不夠直觀，考慮一下整數的模n剩餘類。我的感受是，不管是什麼代數結構，模n剩餘類都是乙個非常好的例子。
4樓：yang
群論中的同態基本定理本質上就是通過任意乙個同態對映 ,來得到乙個同構關係.
注意到同構就是又單又滿的同態，因此我們可以先將這個同態變成乙個滿同態，所以通過取像集 就可以把本來映不滿的 縮小到了可以映滿的 .
然後取商群 就可以保證單射,因為可以證明：， 當且僅當 .
(也就是說當兩個像 相等的時候，兩個陪集 作為原像也必須是相等的，這就保證了這個對映是單射)
因此，這個既單又滿的同態就是乙個同構了， .
5樓：anderson
通俗的解釋：群G1與群G2之間的(滿)同態對映Φ,相當於把群G1對映到它的商群上去了，某種程度上象群就可以看做是商群（你去看對映的例子，那些象的結構就像商群）。
當乙個同態對映Φ確定之後，核KerΦ也就確定了，而核是正規子群，所以商群G1/KerΦ也確定了。
自然同態是很自然的，當乙個群G有正規子群H，就有了商群G/H，當對映Φ是到自己商群上的對映，那一定是乙個同態對映。此時的正規子群H恰好是該對映的核KerΦ。
同態對映直觀上是類似把群做乙個分組或者叫劃分等價類，都是多對一的對映，幾個元素對映到同乙個像點。(特殊的同構對映除外)。
6樓：學半
直觀的自然同態（又稱自然態或無為態，詳參》），即幾何學形式表現的宇宙物質量子渾沌態（量子宇宙）。其基本定理是：根據公理「宇宙只有乙個」，整個宇宙內部運動，具有形數結合而左右內向對稱的幾何連續統整數（自然數或量子數）刻畫的純數學的確定解（又叫做「量子宇宙解」或「宇宙物質量子化定律」）。
參見：如何（直觀地）的理解同態和同構？
7樓：
如同YFan所說，可以從一般的Category角度定義Kernel，因此，只要是學代數類的課程，在教科書裡都會遇到同態基本定理，比如Lie代數，抽象代數，表示論，高等代數。最初進入我們視線的，我想並非是群的同態基本定理，而應該是高等代數裡線性空間範疇裡的同態基本定理。我想在這個回答裡說一說線性空間的同態基本定理。
最初學的時候我沒發現，但後來回味的時候，發現線性空間的同態定理還是很有意思的，實際上它等價於線性方程組的解的結構定理。
考慮線性方程組AX=Y的解，這裡, , 是列向量，A是係數矩陣，那麼這個方程組如果有解，則解的結構一定是某個特解加上對應的齊次方程組的解的形式，即一定是的形式。 如果你對商空間比較熟悉的話，這個解實際上是裡的乙個元素。如果你仔細想一想，這個解的結構定理實際上說的是：
和 裡的元素有乙個1-1對應。
反之，抽象的線性空間同態定理可以通過取基底轉化成線性方程組的求解問題。
所以說，如果你的線性代數是從學習如何解線性方程組開始的話，那麼你剛進入大一的時候就已經接觸了通俗版的同態基本定理了。
2023年7月6日更新
之前舉了個線性代數的例子，再舉個微積分的例子。這個例子是在美國教微積分習題課的時候，琢磨出來的。當時有個同學問「為什麼算不定積分的時候，後面要有個+C」。
如果你憋著一肚子壞水兒，不怕低評價，不怕學生恨你的話，你可以按如下方式解釋：
設 是定義在整個實數軸上所有一階連續可微函式的集合，這是乙個線性空間。那麼通常意義下的求導數 就是乙個線性對映。 我們稱乙個函式 是可積的，如果這個函式是某個函式的導數，換句話說 （在這個例子裡，像空間實際上就是所有連續函式，因為連續函式都可積嘛）。
那麼由第一同構定理，我們有 ，這個同構對映的逆對映實際上就是求原函式。換句話說，乙個函式的原函式是商空間 裡的乙個元素，作為商空間裡的元素，我們通常習慣把它們寫成陪集的形式，即 的形式，然後稍加思考，你就會發現 ，正好就是常函式構成的一維子空間。所以，最後的結果就寫成某個函式加上常數的形式了。
類似問題還有：「為什麼某些型別的常微分方程的解一定是某個特解加上通解的形式？」諸如此類問題，你都可以這麼解釋。
這是我剛到美國的時候，上助教課，覺得學生問的問題好無聊，觸景生情琢磨出來的。當然了，我並沒有這麼去教他們。
8樓：
可以這麼理解一下假設乙個函式 , 並且定義乙個equivalence relation , 那很自然的有乙個f的分解
群第一同構定理就是說的中間那一步。事實上如果這個decomposition能理解的話，很自然可以拓展到其他代數結構的。群裡面ker是normal是為了equivalence relation是well defined。
9樓：
才學近世代數，新生研討課聽不懂趁機來強答一番。
我的感覺就是如果H是G的子群，就可以根據H的陪集來將G分類。如果兩個陪集交不空那麼必然相等，於是陪集就構成G的分劃。兩元素間同屬於乙個陪集的關係又是等價關係，自然對映就是通過陪集分解將G劃分成了若干個等價類。
自己水平不高，竊以為自然對映的作用就是分類。
如果用Ker(f)去商G，那麼陪集就是按像的值來劃分的等價類，感覺這樣挺直觀吧T_T
而同態基本定理的作用，大概就是構建同構，對任意給定的同態f，我們都可以用同態基本定理來產生乙個同構，從而得到不同群之間定性的關係。
如何正確理解訊號處理中的負頻率？
la啦 要找到負頻率成分的物理意義，首先要看這個訊號中虛部的物理意義。比如說對於光 電磁波 來說，認為 訊號的實部表示某點某方向上的時域電場，那麼虛部可以認為是時域磁場。對於真空中的單色 頻 平面波來說，這時，這個時域訊號的實部和虛部是正交的 數值上 傅利葉變換結果為正或者負的乙個單位衝激函式。此時...
如何正確理解unity中的協程 yield？以及它的正確適用情形？
啊左 協程個人的理解是迭代器的一種靈活運用 最重要的是yield得理解 yield C 參考 可以這樣假想，unity生命週期中 就是迴圈呼叫start,update,fixupdate等等的那一層 在呼叫這些生命週期函式中，存在乙個不停迴圈執行這個迭代器的方法。可能的結構類似於 IEnumerat...
如何正確理解boost any的設計？
叛逆者 這件事情和any完全沒有關係，即便沒有any，也非常容易讓你的類掛掉。只需要 myclass c0 myclass c1 c0 或者myclass c0 myclass c1 c0 c1 原因就在於，你有預設構造，卻沒有拷貝構造和operator C 11的話還有移動構造和移動的operat...