用乙個平面去截乙個幾何體，得到的截面都是圓，為什麼這個幾何體一定是球體？

1樓：

反證法。球的定義是三維空間中到給定一點A的距離全相等，那非酋…錯了，非球就是存在到A距離和別的點到A距離不等的點，那麼過該點和A做截面，得出來的就不是個圓。所以只能是球

2樓：何者

首先取一族平行平面，從這些平面截出的圓中挑出最大的那個，稱為O1。再取這個圓的任意一條直徑，過該直徑（且不與O1共面）的平面截出的圓一定以O1的直徑為一條弦。倘若所有這些圓都一樣大，那麼幾何體就是由這個圓繞直徑旋轉而來的，它自然是球。

倘若存在乙個比O1還要大的圓O2，那麼過O2的一條平行於O1直徑的直徑作乙個平行於O1所在平面的平面，它截出的圓至少和O2一樣大，故比O1大。但O1已經是平行平面族截出的最大的圓，因此推出了矛盾。所以，唯一的情況就是上面說的「所有的圓都一樣大」，因此幾何體是球。

這個解不是我給出的，是我的一位大佬朋友給的，特在此轉寫出。

3樓：林虛弱

用平面截乙個圓就好比從乙個方向的投影（如正檢視,俯視等）截出來的所有都是圓，就好比從任意方向看過去（投影到平面上）都是圓。這樣的圖形就是球。

4樓：謎之槍兵X

考慮乙個大概與此等價的命題：用乙個平面去截乙個閉曲面，得到的交線都是圓周，則這個曲面必然是球面。

在曲面內部任選一點，任意建立座標系。沿著平面作一截面，交線記為。設方程為。

過的圓心作平行於平面的平面，其方程顯然為。設交線的方程為；易知，與的兩個交點和也在上，代入的方程之後不難解得。

過的圓心作平行於平面的平面，交線為。它與、的四個交點也都在這條交線上；這樣的四個交點唯一確定了乙個圓，不難解得，，。

最後，作任意與平面平行的平面。只要它與曲面有交線，用上面第三步的「四個交點完全確定交線圓」的論證，不難證明交線圓的方程必為。至此即證明了曲面必為球面。

不過說實話我不是很確定這個命題到底是不是與原命題等價。大概等價吧……

5樓：

給個不嚴謹的「證明」吧。把該幾何體放在三維座標系裡，必有一點橫座標最小，把這個點平移到原點，然後用過 x 軸的平面截幾何體，顯然截出的圓都與 yOz 平面相切於原點，這些圓大小相等，說明該幾何體是球體。

6樓：趙不知

因為如果不是球，哪怕就比球少乙個點，那過這個點截出來的圖案就不是圓，換而言之，此時有無數種方法可以截出非圓圖案，而從題主你的描述來看，無論任何方式截面都是圓，說明不存在這個「點」，也就是說，這個幾何體就是球。