1樓：戴志波
函式是研究運動變化的，那麼微積分正好也是研究變化的。
微分與除法意義類似，dy/dx，單個x能引起多少y變化，即單個x有多大能力激發變化。y分配給x的多少展現了x的能力
積分就和乘法很像，變化前後x一共引起y變化多少，累積多少x×y
2樓：星光
我也想問這個問題！所以這裡寫乙個回答問一下各位大佬，「積分」 的本質是什麼？
比如∫sin 2xdx在（0，π/4）的定積分就只有∫sin xdx在（0，π/2）上的定積分的1/2。
對此就很困惑。翻遍前面各個答主的解答，感覺有點理解了 ，感謝前面的答主
這是我自己的理解。我想可不可以理解為積分就是一條一條的「線」的累加。而∫sin 2xdx的「線」稀疏一些，∫sin^xdx的「線」稠密一些，所以2者最後都是遍歷sinx在（0，π/2）的值，但前者的結果是後者的一半！
請教各位答主，這樣理解的問題是什麼，求輕噴請各位大佬指教！
3樓：阻住
個人認為積分的本質是把連續變化的量離散化，以實現求和的目的。多重積分可以用上圖為例來粗略的理解：一重積分積出面積；二重積分再以面積為底，高為乘數積出體積；三重積分再以體積為底，密度為乘數積出質量；四重積分......
以此類推。總之每一重積分都是把前一重積分得到的求和結果離散化（即切割成很多小塊），每一小塊乘以乙個數，然後加起來求和。
4樓：linem7
感謝 @王希 的回答，真的覺得醍醐灌頂，我試圖總結一下並說說自己的看法吧，關於積分的意義。
我覺得最簡單的理解應該是計算上的，當你想求a乘以b的積，卻發現其中至少有乙個值是變化的，這個時候用積分就可以求解。長度為2寬度為2所以面積為4，速度為2時間為2所以距離為4，這都很好算。替換其中乙個值為變化的但卻是有規律的值，如長度為2寬度為2x，x∈（0，2），則用積分可以很方便地求出來。
以此類推，往後你想求誰跟誰之間的積，只要它是正常的函式（可導），那麼你就能用積分算出結果。
5樓：
積分是微分形式在流形邊界上的取值。微分增加微分形式的維度，積分則減少乙個維度，兩者是互逆的。廣義的牛萊或者說斯托克斯公式實際就是微分形式外運算反對易和微積分互逆的自然結果。
建議不要把積分的結果當作乙個標量，而是乙個帶有維度的微分形式。
6樓：燈籠花
個人認為，數學分析的本質就是拆分。把乙個大到無法解決的問題，化解成乙個個能解決的小問題。再找到一種方法，將他們組合在一起，得到最後的答案。
7樓：
所謂積分，就是求和啊。乘法也是求和啊，累加就是積啊，積分號是個大S，就是和的意思，明白？
萊布尼茨積分公式怎麼寫？所有微分x分別乘以它對應的y，再求和。
8樓：憶臻
積分本質上就是對連續現象的求和。如一重積分也就是先微分dx（就是對x取無窮小），然後在x1到x2區間積分，而積分的實質就是x(高)乘以dx（底）等於面積的累和（從x1-x2區間）
如二重積分類似的就是對x，對y進行微分（就是分別對x,y取無窮小，大白話就是有多小，就取多小）,然後積分的實質就是f(x,y)(高)乘以面積(dx*dy)（x從x1到x2區間，y從y1到y2區間）為體積的累和
同理可以模擬於高維空間，如4維那麼就是4維體積的累和，再高維思想也是一致的。
9樓：[已重置]
我覺得很多答主多慮了。以我個人淺見，題主的困惑在於「積分結果的本質」，而不是「積分的本質」。注意，是積分的結果，不是積分本身！！
以及，題主的問題描述基本上不涉及歐氏空間之外的東西……
那麼，只消採用黎曼和/達布上下和的極限這個最原初的定義作解釋，在當前語境下就已經足夠好了。
說得再直白一點，就是乙個無窮級數！
不用拽那些高大上的東西，東西本身高大上不意味著你這答案就高大上了；作答時能照顧到問題的層次，才是高大上！
打乙個兩頭不討好的比方——拉出皮亞諾公理給小學生解釋一加一等於二的人，就是矯情！
10樓：uclsunbro
個人感覺，樓主的困惑還在於無法理解多維空間。而又把重積分理解為在多個空間維度的積分。
先解決多維空間問題。
三維以上的空間我們看不到，因為我們的不能跳出世界看世界。如果螞蟻在一條家用的縫紉線線上跑，它就是在一維空間中生活，如果我們把線的一段搭在先的另一端上，螞蟻的一維時空就發生了時空穿越，因為它可以不必按照線的走向爬行；同理，如果螞蟻生活在桌布上，它就是在二維空間中生活，如果我們把桌布的兩個角捏起來，螞蟻的二維空間發生了時空穿越，因為它從這個桌角到那個桌角不再需要爬過整個桌面了；如果我們想象自己生活在一條軟管裡，就像家用的那種下水管，如果我們把管子的一頭插入在管子中間剪開的乙個口子裡，那麼我們的三維空間就發生時空穿越了。但是我們之所以不能自己扭曲自己這個管子，恰恰是因為我們在管子裡生活著，這道理就像用手把自己提起來一樣。
但是，這不妨礙我們想象：在四維空間中，我們的空間是可以翻摺的。更高維的就依此類推。
再解決重積分的問題。
樓主之所以被帶入了對多重積分的空間想象，或許是因為教科書上市這麼舉例子的。誠然，三重積分可以用來計算三維空間中的體積。但是，如果我們回歸到積分的根本意義，它其實是微分（或導數）的逆運算。
乙個物理量y，它的變化可以由n個變數x1, x2, x3, ...xn決定，客觀上，我就可以對著n個變數求導。反過來想，如果我能順利找到乙個物理量y是如何跟隨n個物理量進行變化的（也就是我們能列出y的n階偏導數的表示式），那麼我們求解這個偏微分方程就能得到y=f(x1, x2, x3,...
xn)的解析式。而這個積分過程顯然是n重積分，但是與n維物理空間沒有半毛錢關係。
如果學習了線性方程，應該會有助於理解。
11樓：
可以這樣理解，n維空間的積分是(n+1)維空間的測度，特別的，2維空間的測度就是面積，3維空間的測度就是體積，再往上自己翻測度論吧~
12樓：姚金鈴
。。說了半天，就是求面積。。什麼不是面積是路程。。
正是因為他能表示面積，從而可以表示路程，本質還是面積，而面積的本質就是黎曼和。還有根本不需要假設A到B是直線神馬的，這個屬學生沒有學過線積分麼？
13樓：
如果有小學四則運算的基礎，那積分的本質就可以表述為乙個極限式啊（當然要有極限的定義）。
更抽象的本質應該是乙個度量空間裡面的極限式吧……
14樓：阿瑟李
本質這東西很難說。
積分本來就是先「定義」的東西，即離散作乘求和取極限，用∫積分符號表示，然後剛好可以對應於現實中求面積、弧長、連續體的質量等而已。
好比問「1+1=2」的本質是什麼。沒有本質，只是它對我們有幫助。你也可以定義「1+1=3」，然而從它出發得出來的結論並沒有什麼卵用。追根刨底就不是數學而變成了哲學問題了。
so,積分只是乙個定義。題主可能想知道的是「積分」還可以用什麼數學語言來描述和理解。
15樓：Yuhang Liu
從純數學的角度看，積分就是對乙個n維流形上的n次微分形式或者density進行的乙個操作，這個操作大致可以理解成把一些區域性的資訊整合一下，得到乙個整體的資訊。推薦書目的話，任何一本名為「流形上的微積分」的書都可以看看，以及是一本特別好的書，不過它一開始就用多重線性對映的方法定義微分形式，完全不給你介紹直觀意義和物理背景，是一本「純」的數學書，對非數學專業的同學可能會有一些閱讀障礙。
16樓：Jackie Luo
我覺得積分的主要用途是用近似規則的方式來對不規則的事物進行求和
比如求乙個圓形的面積，我們可以以圓心為重點，把整個圓劃分成無數個小的三角形(因為兩點之間無限小，所以可以近似認為這個三角形的底邊(弧形)為直線)，那麼圓的面積就變成了無限個(比方說N)小三角形的面積之和，而三角形的高則近似為圓的半徑R，那麼圓形的面積就為, 2πR(周長，所有底邊之和) * R(所有三角形的高) / 2 = πR*R
同理，橫座標代表時間，縱座標代表速度，即使你的速度不規律變化，但是路程(也就是速度曲線與橫座標覆蓋的面積)，也可以當做高度不同的微小矩形的面積之和，這是積分最吸引我的地方，很有畫面感。
17樓：王希
題主在課堂上學習了定積分。老師告訴他，定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積。
題主很失望：定積分就只能算個面積？而且還只是這種特殊的形狀。
他把這個疑問告訴了他的好朋友數學君，數學君笑著說：「明天旅行的時候跟你講吧！」。
帶著這個問題和對旅行的憧憬，題主進入了夢鄉。
第二天
題主興高采烈地和幾個哥們坐上了大巴車，幾個小時之後，他們到了目的地。這時數學君問題主：「你知道我們的汽車行駛了多遠嗎？」
「知道啊，我記得西安到青海是XX公里……」「不對！那是直線距離。我問你怎麼計算汽車行駛的路程。」「……不知道。」
「哈哈，當然是定積分了。」數學君得意地說，「不妨設我們是A時刻出發，B時刻到達，A到B之間汽車每一時刻的速度記為乙個函式,這個函式在A到B上的定積分就是路程啊!」
「原來定積分還可以算路程！」題主驚訝地說。
下了車，題主拉著旅行箱跟著大部隊往賓館走去，這時數學君又說話了：
「你知道你拉箱子做多少功嗎？」
「看我晚飯吃多少唄。晚飯吃得多，說明我做的功多。」題主疲憊地說。
「你這孩子！」數學君氣樂了。「你在每個位置拉箱子都有乙個力,這個力和底面還有乙個夾角。
我們假設車站到賓館近似為直線，車站的位置為a，賓館的位置為b，那麼你做的功就是在a到b上的定積分。」
「哦哦。」題主附和了兩聲，就沉沉的睡去了，因為他確實做了不少功。
第三天
大部隊早早地出發，去參觀青海湖。這時有乙個年齡比較小的孩子問了一句：「哥哥姐姐們，你們知道青海湖有多大啊？」
「4500多平方千公尺。」乙個學地質的學生脫口而出。
「好厲害！」小孩和幾個女生都發出了驚呼，這時乙個戴眼鏡的男生又發問了：「那是你知道。我問你，隨便在地上畫乙個湖的圖形，你會算它的面積嗎？」
「我會算，定積分！」題主搶著說道。
「定積分算的是曲邊梯形的面積，我這樣的圖形你怎麼算？」男生很快隨手畫了乙個不是曲邊梯形的圖形。
「這個這個這個這個這個……」題主結巴了。好在這時，數學君走出來替題主解圍了。
「這個當然可以用定積分做，只是不是一般直角座標系的定積分，而是極座標系的定積分。」數學君耐心地解釋道，「我們建立乙個極座標系，極點就是這個紅色的點，極軸就是極點向右的這條射線。這樣這個圖形與原點連線和極軸的夾角範圍就是,而每個角度對應的圖形上的點到極點的距離就是……」
「我知道了！」題主做出一副恍然大悟的樣子，「開始的角度是0，結束的角度是,所以這個面積就是在這個區間上的定積分，對不對？」
「對你大爺。」乙個瘦高的男生走了出來，「這是利用極座標計算面積，要對在整個角度範圍內積分才行。」
「soga」題主為自己又長了姿勢而高興。
第四天
數學上，面積的嚴格定義是什麼？
遠古人類有兩個基本確認概念 乙個是平移不變性，即乙個圖形在平面內任意旋轉平移其占地大小不變 另乙個是計數原理，即如果我有乙個排列成矩形的點陣，點的個數用該是長邊上點的個數乘短邊上點的個數。這兩個是不是很顯然？定義方式可以是多樣的，如果按照遠古人類的想法，應該是這樣定義的 在平移不變性和乘法計數的前提...
路徑積分 重整化在數學上目前並沒有嚴格的定義，為什麼在物理學中卻相當有效？
我想，題主多半是沒見過物理中的 唯象理論 方面的工作。唯象的工作，很多連物理上都不嚴格，更不要說數學了。往往是，遇到乙個超級難啃的硬骨頭，一邊是一堆實驗資料，一邊是理論嚴格計算的結果，然後理論計算的結果只是微擾的，跟實驗的根本沒法相比。於是，就有一批人創造出各種各樣的模型，然後預留各種引數，然後通過...
自閉症的神經科學上的本質到底是什麼？
他予她夢 何為本質 可能心理學家也不知道 星星的孩子，自小屬於抑鬱質，沉溺孤獨目光呆滯，別人在怎麼引導關心愛護好像都沒有效果 孩子健康單純善良的心性人格還是要從小培養吶 星星頌 自閉症是腦神經發育障礙引起的。從我們接觸的孩子來看，一種是先天性的，另一種是在三歲前大腦沒有得到良性刺激造成發育遲緩，如果...