1樓：陽光月光
因為序列收斂的概念過於侷限，能夠用序列描述的拓撲是一些特殊性質的拓撲(T1或者通常來說的序列空間)，所以我們要去描述一般拓撲或者刻畫一般拓撲上的連續對映往往用網(net)或者濾子(filter)的概念去描述刻畫，因為憑藉二者可以完全描述或刻畫一般拓撲空間，這是序列所做不到的。
ps：net是反映鄰域系「周圍」的結構，filter是直接給出了鄰域系的整體結構，而鄰域系完全可以決定拓撲，但是簡單考慮實數的可數補拓撲，你會發現序列的收斂無法得到任何東西。
2樓：會動的小圖書館
第一次嘗試回答學術問題……瑟瑟發抖……
拓撲空間中序列收斂的定義：對於拓撲空間中的序列，如果存在a，使得a的任意開領域內，都包含序列中幾乎所有的點，那麼稱序列收斂到a。
拓撲空間之所以不採用序列的手段去研究連續性，是因為在一般意義下的序列收斂已經失去了數學分析裡「收斂」的一些性質，具體表現為：
1、序列的極限不一定是唯一的。這與數學分析裡極限的「唯一性」不同。
考慮R的餘有限拓撲空間中兩兩不相等的序列，由於在這個拓撲空間中的開集都是有限集的餘集，因此對於R中的任意乙個點a，它的開領域總是有限集的餘集，那麼它一定包含了序列中幾乎所有的點，根據序列收斂的定義，序列收斂到a。也就是說，R的餘有限拓撲空間中的任意乙個兩兩不相等的序列，可以收斂到R中的任意點。
2、當乙個點a是集合A的聚點是，不一定存在A中收斂到a的序列。這與數學分析裡的Weierstrass定理不同。
考慮R的餘可數拓撲空間，對於其中乙個收斂到x的序列，可以證明它幾乎每一項都等於x，那麼對於R中的不可數真子集A，A的閉包一定等於R（因為包含A的最小閉集就是R），因此只要選取R中的x，使得x不屬於A，x是A的聚點，但由於A中的所有收斂序列一定幾乎每項都等於A中的某個點，它必然不會等於x，所以它一定不收斂於x。
由於一般意義下的序列收斂缺乏數學分析中的一些「好的」性質，因此不考慮使用序列的角度來研究連續。因為我們在數學分析裡學習的連續函式的Heine定理，實際上用到了序列收斂的唯一性。
序列收斂的唯一性在T2空間也就是Hausdorff空間中成立。一般對於Hausdorff空間我們會採用序列的角度來研究函式的連續性。
希望對題主有幫助，也希望我拓撲的期末能過_(:з」∠)_
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