1樓：塵迪
可以證明（且只須 的條件），但證明的複雜度取決於我們將哪些結論當作不言自明的前提（能直接拿來用）。
具體地說，假設我們認為下面這個初級的結論是可以直接拿來用的：
二元二次方程所代表的曲線只可能是下面幾種情況：橢圓（含圓）、拋物線、雙曲線、雙直線、單點、空集。
那麼，注意到原方程可寫為
因 ，易知方程有無窮個解（不是空集或單點），且由知 有界，即曲線是有界曲線，不可能是拋物線、雙曲線、雙直線。從而由排除法知只能是橢圓。
2樓：
顯然有 0，I_I_<0." eeimg="1"/>易得原式為橢圓.
特徵方程為
顯然0" eeimg="1"/>當 0,n>0" eeimg="1"/>恆成立.
是兩實根.
經過參考一些解析幾何知識可以把原式化簡為下列形式，或是以上座標變換需要用到下列知識點：
特徵方程.
二次曲線座標變換的不變數：
以及定理
若二次曲線為中心曲線，則 可簡化為
, 是特徵方程的根.
p.s：
6.9 抽空補上.
12.16 多年不翻舊書，快忘了要用到哪個知識了，要還回去了.
3樓：
說個最簡單的思路
對每個固定的x，把y當做二次函式解出來兩個值，只要這個值有與x無關的上下界。
同理對y固定，x解出來的值有與y無關的上下界。
那麼這個影象一定不含有直線，拋物線，雙曲線，由二次曲線的分類(這個高中按照離心率應該掌握了)只可能是橢圓。
二次曲線分類大致如下
非退化情形: 橢圓(圓)，拋物線，雙曲線。
退化情形: 乙個點，一條直線，兩條平行直線，兩條相交直線，還有無實數解的幾類式子，如果也算入的話。
4樓：零度君
首先，這個曲線是中心對稱的，因此如果是橢圓必然中心在原點。那問題就好解決了：如果原方程是橢圓，將座標軸旋轉，必然有乙個角度能夠滿足橢圓標準方程。
假設xoy座標軸逆時針旋轉角度θ變成x'oy'座標軸，那麼我們可以得到如下的座標變換公式：
同理有其逆變換
把(2)帶入原方程可以得到：
其中顯然，如果原方程可以在 處轉化為中心在原點，長短軸在座標軸上的橢圓的標準方程，那麼此時必有C=0。
由於橢圓是對稱的，因此若上述滿足上述條件的 存在必存在乙個 ，帶入C=0可以解出
(不確定對不對哈，反正能解出來)因此，在時曲線方程轉化為：
只需要A>0，B>0，(6)就可以寫成這個樣子：
而在時顯然B>0，那麼只需考慮A就可以了。顯然：
\frac\theta_0\theta_0 \tag8" eeimg="1"/>
帶入(4)中可以得到
0 \tag9" eeimg="1"/>
如上，A>0，B>0證明，原方程在座標軸逆時針旋轉 後可以寫成(7)所示的橢圓標準方程，顯然原方程表示的是乙個橢圓。
5樓：失落之城
首先我們知道二次曲線都有啥
雙曲線，拋物線，橢圓，雙直線這些
好接下來分析發現只有橢圓是封閉的（圓也是橢圓）這麼一來我們只需要證明上面的方程 和 都是封閉的就行了對於 來說
這是乙個開口向上的拋物線,要使得方程有實數解就要判別式大於等於0即整理得到
即 的範圍是
類似的考慮 我們有
考慮判別式非負得到
同樣地呢解得
既然 都是封閉的，二次曲線裡面對應封閉的應該只有橢圓了，而且考慮 區間的對稱性我甚至覺得這個橢圓還是關於原點對稱的，於是我畫了一下
你別說還真是.
那麼問題來了，我要如何知道封閉二次曲線只有橢圓呢？我太菜了溜插入分割線，考慮 都很大的情況（這裡 )
根據上面的結論
所以在同時等量趨向於無窮大的時候這東西應該是乙個無限狹長的橢圓，只有在
某些特殊情況才會變成圓吧
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