1樓：張無忌
對於任意的時間訊號x(t)，這個訊號可以是任意隨時間變化的物理量，在對訊號進行能量分析時，不加區分地將其視為施加在阻值是單位電阻，即R = 1Ω的電阻上的電流。基於此，這個單位電阻的能量屬性，就視為這個訊號的能量屬性。
所以，訊號的總能量 W 就是：
同時，能量也可以在頻域表示：
相應地，訊號的平均功率 P 就是：
當然，對不同的訊號，上面兩個定義中的極限並不一定存在，由此可以區分能量訊號和功率訊號。也就是說，第乙個極限存在，即稱為能量訊號，若第二個極限存在，則稱為功率訊號。應該記住的一點是，乙個訊號可以既不是能量訊號，也不是功率訊號，但不可能既是能量訊號，又是功率訊號。
如果訊號是 能量訊號，通過傅利葉變換，就很容易分離不同頻域分量所對應的能量，頻率ω 對應的能量為:dW = |X(ω)|d(ω/2π)，對ω積分就能得到訊號的總能量，由此，|X(ω)|就定義為能量譜密度，也常簡稱為 能量譜，意為能量在某一頻率上的分布集度或，量綱是[U]·sec/Hz或[U]·sec/(rad/sec)，[U]是x(t)的量綱。
如果訊號是 功率訊號，情況就稍微複雜一些了。這裡先選取乙個 週期功率訊號，這個是十分容易的，乙個有限長時間的訊號進行週期延拓就可以得到了。
週期訊號在時間上無始無終，能量必然是無限的，但功率可能是有限的。對訊號進行傅利葉展開，可以寫成：
或表示為復指數形式。
週期訊號的平均功率只需要取乙個週期進行能量平均即可得到，也即：
或：利用二項式展開以及三角函式系的正交性，不難化簡上式：
或An是週期訊號中頻率為nΩ的諧波分量的幅值，Pn = An/2是頻率為nΩ的諧波分量的功率。所以結論就是：週期訊號的平均功率等於各諧波分量幅值的平方和。
容易理解，週期訊號的功率是離散地分布在頻率為基頻Ω整數倍的諧波分量上的。
如果以頻率為橫座標，功率Pn為縱座標，就可以得到功率隨頻率的分布。容易觀察到，週期訊號的功率譜頻率分布是離散的，等間隔的，間隔長度就是基頻Ω = 2π/T，如果將Pn在區間[nΩ, (n+1)Ω]平均化為Pn/Ω，就可以得到一條頻率連續的分布曲線G(ω)，其意義就是頻率ω上的功率密度，也就是所謂的功率譜密度，量綱是[U]/Hz。功率譜密度曲線的對頻率積分就等於平均功率P，即：
實際上，如果引入衝擊函式δ(·)，功率對頻率微分也可得到週期訊號的功率譜密度，功率譜密度在基頻整數倍為脈衝形式，即G(ω) =ΣPnδ(ω-nΩ)，同樣滿足功率譜密度的積分就等於平均功率P。
以三角函式對功率展開, 幅值 An 為實數，n 僅取正值，功率譜密度G(ω)為單邊功率譜，如果以複指函式形式對功率展開，係數Cn 為複數，而 n 取全體整數，功率譜密度S(ω)為雙邊功率譜，二者關係為：An=2|Cn| = 2|Cn|，G(ω) = 2S(ω)。
下面考慮 非週期功率訊號，這類訊號也非常常見，如平穩隨機過程。
非週期訊號可以用週期訊號的思路來推廣，相當於週期訊號中的週期T → ∞。
週期趨近於無窮意味著基頻（離散諧波的頻率分布間隔）Ω → 0，離散的諧波功率譜線趨於連續。同時，傅利葉係數An 也趨於 0，也就是說，在諧波功率譜線的圖形中，所有頻率的譜值Pn 都是無窮小，注意到，功率譜的頻率密度G(ω) =Pn/Ω卻為有限值，可以用於描述功率的頻率分布。
通過對訊號的截斷也容易理解非週期訊號的功率譜密度。功率訊號x(t)無法直接進行傅利葉變換，但通過對訊號截斷，則截斷後的[-T, T]上有限時長的訊號x(t)則為能量訊號，可進行傅利葉變換，得到截斷訊號x(t)能量的頻率表示|X(ω)|。隨著截斷時間2T趨於無窮，截斷訊號x(t)逼近功率訊號x(t)，能量譜密度|X(ω)|趨於無窮，而其時間平均則為有限值，也即功率譜密度G(ω) =lim(1/2T)|X(ω)|。
2樓：
在頻譜分析中幅度和功率是由緊密聯絡的兩個不同的物理量：能量能表述為幅值的平方和，也能表述為功率在時間上的積分；
功率譜密度，是指用密度的概念表示訊號功率在各頻率點的分布情況，是對隨機變數均方值的量度，是單位頻率的平均功率量綱；也就是說，對功率譜在頻域上積分就可以得到訊號的平均功率，而不是能量。能量譜密度是單位頻率的幅值平方和量綱，能量譜密度曲線下面的面積才是這個訊號的總能量。
於是，功率譜、能量譜、幅值譜之間的緊密關係主要表述為：
能量譜是功率譜密度函式在相位上的卷積，也是幅值譜密度函式的平方在頻率上的積分；
功率譜是訊號自相關函式的傅利葉變換，能量譜是訊號本身傅利葉變換幅度的平方
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