1樓：後覺者
首先, Kohn-Sham （KS）方程不是密度泛函理論（DFT）的核心，密度泛函理論的核心是如何給出總能量密度泛函，Kohn和Sham (KS)在2023年將多粒子系統的總能量泛函拆分為5部分(波昂-奧本海默近似下)：
(1)其中，從左到右分別是無相互作用電子的動能（或單粒子動能，下標s在密度泛函理論中一般表明該量是單電子或無相互作用系統的量），電子-電子經典相互作用Hatree能(電子-電子庫倫排斥能)，外勢場貢獻的能量（如原子核貢獻的靜電勢），交換關聯能(用來彌補無相互作用系統和真實系統的差別，或者彌補動能項和Hatree項)，核-核相互作用能。方括號[ ]代表泛函，圓括號( )代表普通函式。
到這裡，KS主要是基於HK定理給總能量泛函乙個具體的表達形式。但是，動能項的精確表達形式明顯是單粒子波函式的顯泛函而不是密度的顯泛函，這裡其實有點偏離密度泛函理論的初衷，當然，如果動能項能精確地寫成密度的顯泛函(動能密度泛函)，那就是最理想的密度泛函理論（Orbital-Free DFT），這也是我的研究課題。
回過頭來再看方程 （1），動能項是無相互作用的多電子動能，波函式是單粒子波函式，而2-4項是真實系統的電子密度，無相互作用系統波函式與密度又有什麼關係呢。嚴格邏輯來說，沒有關係，乙個是無相互作用系統的量，乙個是真實系統的量，肯定沒有必然關係。聰明的KS兩人大膽假定，他們想要的無相互作用系統要和真實系統共享相同的電子密度( ),這一假定打破了無相互作用系統和真實系統的界限，自然地，
（2）如此這般，動能項也可以稱之為密度的隱泛函，總能量泛函便可以強行解釋為能量密度泛函。關於密度的問題也回答了，我不理解您所說的平均密度是什麼意思。接下來就是如何獲得基態電子密度和總能量，原則上來說，對方程(1)在波函式正交歸一，粒子數守恆，和(2)的約束下進行最小化就可以了(借助一些最優化演算法)。
KS也提供了另一條路：保證波函式正交歸一化約束，對方程(1)變更 } \}=0" eeimg="1"/>(Lagrange乘子法將有約束的優化問題轉化為無約束問題), 物理學中處處可見的變分原理，就獲得了乙個動力學方程，便是KS方程:
（3）類似於薛丁格方程但不是，因為（3）左邊的Hamiltonian中包含了電子密度，（2）-（3）形成了乙個可以天然自洽求解的方程，這就是KS方程。求解KS方程的目的是為了獲得基態電子密度和單粒子波函式，代回（1）可以獲得系統的總能量，對總能量求導可以獲得其他性質（力，應力等）。
現在回答另乙個問題，這裡的波函式有什麼意義。有兩種觀點：
波函式和本徵值(軌道能)沒有任何意義，只是用來輔助最小化總能量泛函。
波函式和本徵值(軌道能)有意義，是準粒子的波函式和能級（能帶），把KS方程當作薛丁格方程來看，好像一堆無相互作用的準離子在乙個有效場中運動，在凝聚態物理中，由於多體相互作用太多，所有的電子暈頭轉向，總是可以看成這樣相互之間沒有作用的準粒子（平均場意義下）。
倒空間和能帶，和KS方程本身關係不大，這是由於KS方程在週期性勢場下求解，借助Bloch定理對單粒子波函式求解，根據動量k對本徵值作了分類，這樣可以有效減少Hamiltonian對角化的計算量。不同k上的n能級相互連線，形成一條帶，這就是通常在計算軟體中看到的「能帶」。當然，能帶也可以不用根據k分類，直接在跟撒k點等價的Born von Karman超胞上直接對角化Hamiltonian獲得的能級就是能帶 (有人稱為布里淵區摺疊)，跟測不准原理沒有任何關係。
倒空間：這裡我只建議你把k和倒格矢G的概念搞清楚，很多人這裡都很混淆：一看見k，一看見G就說是倒空間。
更多地，最好在數學上理解什麼是空間，要不然永遠是混淆的、且爭論不休的。
對稱性：通過對稱操作聯絡的k點，在計算過程中僅僅需要計算其中乙個k點處的本徵值問題就可以了，可以大大減少計算量，可以證明k點上的能級分布是一樣的，並且波函式也是通過相應的對稱操作聯絡的。另外，省略掉等價的k點畫能帶也簡潔。
對於含時部分，類似於HK定理，Gross證明了密度泛函理論也可以推廣到含時系統。需要引入乙個作用量來證明，吧嗒吧嗒一大堆 ，省略。
如有回答不當，請一定要指出。
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