怎樣的數學問題叫乙個好問題？

1樓：xdra

可以參考一下陶哲軒寫的乙個雜文：WHAT IS GOOD MATHEMATICS?

裡面從非常多的方面說了什麼叫好的數學。

科普作家盧昌海翻譯成了中文版本什麼是好的數學？

2樓：涅凰

在我看來，乙個好的數學問題一定是乙個證明題，不論是證明還是證偽，都能在這個證明過程中產生新的思想或者理論或者分支。數學就是靠著這些證明題一步一步發展到現在的。

3樓：

判別乙個問題是否屬於好問題的「判據」有很多，且不同分支有不同的說法。但在實際操作中，許多數學研究員秉持著一種傳統美德：

暫時還沒看懂的問題都是好問題；而看懂了的問題會一瞬間變trivial，哪怕是千年之問。

4樓：asdert1234

給答主的建議在第2點

1.不考慮答主的後續描述，僅就「怎樣的數學問題叫乙個好問題？」而言，我的「一句話答案」是因為「好」很難被精確定義，所以無法回答，換句話說，問題太寬泛，太因人而異。

(感覺像個哲學問題啊)

當然，我不是來說一句看似「正確」的「廢話」或者來抬槓的。我們來嘗試做個列表，有現實意義，對解題人有直接啟發，建立不同數學分支的聯絡，能拿獎，這就是全部「好」問題的要素了嗎？能讓人得到乙個優雅的解答算不算？

難度合適，正好讓解題人花費一定功夫解出來並且體會到愉悅又算不算？或許後兩者尺度有些小，那要把「大尺度」加進列表嗎？總之，我想表達的是這個列表可以不斷延伸，每個人，甚至不同階段的同乙個人都會有不同看法，大家說的可能都是好問題，但不符合就不是嗎？

不一定吧。

如果停在這裡，那我不僅說了一句「廢話」，而且還用另一大段話去嘗試讓別人接受我的「廢話」，感覺還是再說兩句比較好：什麼問題能拿獎，導師幫你分析什麼選題好，最近10年哪些領域比較熱，什麼問題對當前棘手現實問題有幫助，這些問題可能都會有更加客觀的答案，但是類似於什麼問題是「好」的數學問題這一點，在將問題具體化之前，希望還是能保持一顆更開放的心，更晚一些下結論才好。我覺得這也是數學「任性」但又很有「魅力」的一點。

2.根據描述，對答主個人，我會給出這樣的建議：本科生還處於打基礎階段，本校課程也好，通過上網等途徑搜尋它校本科課程也好，將本科核心的課程先學紮實是非常重要的。

至於什麼是本科核心課程，我現在能想到的是把各大學前兩年課程裡能找到的交集部分以及比較耳熟能詳的課程先算進來(當然這只是乙個不成熟的參考，認真回答核心課程絕對可以另開乙個答案)。

然後可以嘗試選擇自己的大方向，進行相關學習，細化方向(進而影響選課)，再學習相關課程，進一步細化...這裡的方向選擇/細化/相關課程選擇可以找老師諮詢，太細化的內容估計上知乎就挺難得到滿意答案了，對了，我個人覺得本科之後進個好大學/找個好導師也是很重要的，所以成績也不要放鬆。

繞回來點個題，作為本科生，面對數學如此成熟而且豐富的一門學科，在保留一顆好奇心的前提下，暫時少思考一些哲學層面的問題是不是也不錯呢。相對於「好」問題，把傳統意義上對你當前更「重要」的問題先努力解決吧。

最後，分享一句我導師和我說過的一句特別簡短的話「Make your hands dirty. 」我不想過度解讀，這句話在這裡甚至有點偏題，不過既然都是學數學的，對這句話應該多少會有些感觸吧。

5樓：L'Analyse

首當其衝地，它必須是乙個數學問題，不能是哲學問題，也不能是歷史學問題。

其次，其中的所有概念都要經過良好的定義，如果定義不明確，那也不能是乙個好的數學問題。

再其次，需要超出課本一定的範圍，而不是較為容易用課本知識能得到的結論。也就是那種看似是很簡單、實際不甚簡單的問題。

例如「區間上處處可導的函式，其導數是否在某個子區間內有界？」是乙個很好的數學問題。它看似簡單，想想卻不簡單，有些超出平常課本的範圍。

「可積函式是否基本上是連續的？」就不是乙個好的問題，因為「基本上」定義不明確，需要考察更加明確的定義。

6樓：

我在考慮一種全新的幾何學，叫做「極限幾何學」。是我之前和目前所寫的工作「三體幾何學」的推廣。

在這個新幾何學中，我們不再考慮單個的幾何物件，而是同時考慮無窮多個幾何體。上面的不變數不再是乙個實數，而是一串無窮多的實數，並且趨向於某乙個極限。

在這個意義下，三體幾何學就成了極限能夠被取到的極限幾何學。換言之，三體給出了乙個天然的極限模型。而在極限幾何學中，一切都是模糊的，就像量子雲一樣，我們是否可以通過不停地幾何手術，能夠在某一步讓這無窮多個模型坍縮成乙個模型，那麼這就是極限幾何學第乙個重大的突破！

當然目前我還需要完善三體幾何學。可能還需要幾篇文章才能把它的潛力挖掘出來。

普通的幾何學研究多面體，三體幾何學研究多面體的像，那麼極限幾何學就能夠研究邊甚至是彎曲弧形的幾何學！

7樓：

好的問題有兩種，一種是增加了我們對數學本質的理解，比如說構造了新的數學結構，建立了某兩個分支之間的聯絡。另一種是增加了我們對現實世界的了解。比如KAM定理告訴我們為什麼三體是混沌的，但是太陽系的大行星作為乙個多體問題仍然穩定，我們並沒有看到火星忽然間就飛越了海王星軌道。

不是純數方向，只能舉幾個我自己比較熟悉的例子。Villani等人證明了熵的凸性等價於空間的正曲率，這是很好的數學問題，這個結果把熵這個統計物理裡面的觀測量和空間本身的性質緊密聯絡在一起。KPZ universality發現有一大類概率、隨機PDE、統計物理模型、應用模型的某個極限都是GUE。

如果最後有人能證明乙個像中心極限定理一樣本質的結果的話，這也是個非常好的問題，能夠大大增加我們對現實世界的認識。

某人提出了某種新技術，可以更好的對某一大類問題做出估計，比如某一類方程中某某範數隨時間增長的速度。但是並不能拿來解決大的open problem，這就是差一些的結果了。其實就這種「差一些的結果」在本方向內往往也是有影響力的，對一般人來說已經不容易做出來了。

某PhD學生照貓畫虎，別人證明了某個PDE的非線性項是三次的時候有唯一解，他依樣畫葫蘆證明了非線性項是五次的時候也有唯一解。但是證明的時候發現某些地方算不過去，硬著頭皮又加了兩個假設。這個PDE本身可能很有背景，可能和大量的「好問題」有聯絡，但是這個具體問題並不是好問題，做出來的東西也屬於很水的結果。

某縣師範學院某中年講師為了評職稱，找了個已經被做爛的人口模型，加了個不知所云的高次項，畫出了在不同引數取值下，這個模型的17種可能的相圖，發在本校學報上，這是非常爛的問題。

作為本科生，思考和積累都是很重要的。事實上這些驚天動地青史留名的工作都屬於可遇不可求的東西，乙個勤奮刻苦的數學工作者，一輩子能折騰出幾個「差一些的工作」，已經算很厲害了。即使是我說的「很水的結果」，裡面用到的硬分析往往也遠超出普通本科生能夠接受的程度。

一方面要培養好的數學審美觀，知道什麼樣的問題是有影響力的；另一方面知識和技術都要跟得上，如果有條件的話，最好找人帶一下自己動手做一點問題，千萬不要變成用嘴做數學的人。

怎樣的數學問題叫乙個好問題？

乙個小的數學問題，如下

有乙個數學問題等待大神的解決？

如何在知乎提出乙個好問題？

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