1樓：豬鼻蛇
請問以下三句話有什麼區別：
所有權值最小的邊一定會出現在所有的最小生成樹中
所有權值最小的邊一定會出現在任何乙個最小生成樹中
所有權值最小的邊一定會出現在最小生成樹中
按照一般的直覺來看，這三句話是等同的。並且還應該與下句等同：
權值最小的邊一定會出現在最小生成樹中
這是因為原題這句話顯然是從 直譯出來的。而不是先構成某個日常語句再讓人猜語義。
於是這句話trivial的是錯的。
為什麼要在最小生成樹前面在「所有的」。
這樣的顯式宣告量詞是無意義的。
事實上這樣表述還降低了題目的難度，只能處理例項，不習慣思考概念的學生太多了，他們經常會把一切沒標明「任意/所有」的物件都當成唯一的。
至於題主的理解
我的理解是所有權值最小的邊是集合A 所有最小生成樹包含的邊為集合B 集合B包含集合A。
不好的地方在於型別轉換太扭曲了，「所有的最小生成樹」定義了乙個樹的集合，從這個集合展開再得到乙個新的邊的集合太麻煩了，很難想象這樣複雜的行為會被完全省略掉。
最後題主亂給問題加標籤的習慣讓人感覺有點不太好……
2樓：sin1080
這題其實是一道語文題。
第一句「所有權值最小的邊一定會出現在所有的最小生成樹中」的正確理解是：給定帶權無向連通圖G，任意一條邊e∈G且有e為G中權值最小的邊（或之一），使G'為任意乙個G的最小生成樹，必有e∈G'。這個命題顯然是假的，乙個反例就是如果G的所有邊權值都是1且有環，所有邊都是權值最小的邊，不可能有乙個最小生成樹包含G所有的邊。
第二句所有權值最小的邊一定會出現在任何乙個最小生成樹中，正確理解是：給定帶權無向連通圖G，任意一條邊e∈G且有e為G中權值最小的邊（或之一），則存在乙個G的最小生成樹G'使e∈G'。這個命題是真的。
證明可以直接借用Kruskal演算法的正確性，因為選取某個權值最小邊的操作正是Kruskal演算法的第一步操作，你愛挑哪個都行，所以一定存在乙個最小生成樹包含某個最小邊。
第三句有歧義。
3樓：浮塵ii
這句話可能表意不清，但你的理解應該是對的，給乙個證明思路：
先隨意構造乙個最小生成樹，考慮每一條不在樹上的且權值最小的邊 (u, v)，在樹上找到 u->v 的路徑，將路徑上邊權最大的邊刪去，並連上 (u, v) 這條邊。這個操作顯然可以保證連通性並且總邊權不變大。而由於原來選出來的已經是最小生成樹了，所以這樣操作以後仍然是一棵最小生成樹。
（即路徑上最大邊的邊權和這條邊的邊權是相等的，保證操作後總邊權不變小。）這樣就可以把每條權值最小的邊構造到至少一棵最小生成樹上。
至於任意那句話，我覺得是錯的，顯然乙個邊權相等的三元環就不對了，可能是有上下文語境的。
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