看到乙個群元在不同群表示下的表示，能觀察出這幾種不同的表示對應的群元是同乙個群元嗎？

1樓：Changkai Zhang

題主似乎對群表示論有一些誤解。「繞z軸轉45°」描述的就是乙個群元, i.e.

，這跟表示沒有關係。如果你還記得群表示的定義，以及，那麼有。這個意思就是說這個群表示想告訴你在經歷群元的變化下，某個向量空間的元素（的分量，如果按被動考慮）會發生怎樣的變化。

回到題目中的例子，群元在表示（也就是向量表示）下的作用是告訴你在經歷了「繞z軸轉45°」這一變換下，向量（的分量）會發生怎樣的改變。同理，在表示（也就是左手旋量表示）下的作用是描述在經歷了「繞z軸轉45°」這一變換下，左手旋量（的分量）會發生怎樣的改變。

2樓：

一般只有在洛倫茲群的自然表示下（也就是4維平直時空上變換的集合），我們才會去考慮某個群元是繞某個軸轉多少或者boost多少。因為這種情況下群元的物理意義是觀者(參考係)之間的變換，考慮具體群元的操作是有意義的。例如exp(ixJ_z)，即繞時空座標系z軸旋轉x度。

而你問題中說的用(1/2,1/2)標記的有限維表示，這是在旋量空間上的表示，不是某個有限維時空上的表示，(所以我們一般不考慮你所說的繞什麼軸轉多少度的概念)。它們與場算符對應粒子的自旋密切相關。你應該用處理量子力學裡粒子自旋空間的方法處理這個表示。

也就是說，類似於量子力學中對自旋空間的操作，你考慮這種有限維表示時，應該關注的是生成元表示的本徵值與本正矢，而不是某個群元是繞哪個軸轉多少度。