1樓：
Boltzmann分布講了乙個大實話：
乙個幾乎無相互作用體系（歷史上講，就是理想氣體），
可以處在（術語叫「分布」，注意辨析，這個東西在概率論裡叫概率密度函式，而概率論裡的分布是概率密度函式的積分）從低到高一系列不同的能級上。
體系達到熱平衡時，顯然低能級佔據的粒子多，高能級佔據粒子少。這跟財富分布也是一樣的，窮人多而富人少。已故著名科學家張首晟之子寫過乙個財富與統計物理的小文在Arxiv上，推薦閱讀。
而且，由於氣體分子太小太多，我們不能分辨乙個乙個的粒子，只能統計乙個能級或者一定能量區間 （這個區間巨集觀小微觀足夠大，就是包括了足夠多的能級）內粒子的數目有多少。
那麼到底有多少呢？是這樣：
也就是說，如果最低能級 上有 個粒子佔據，那麼根據量子力學，比這個能級高一級的能級（根據量子力學，能級不能連續變化）上就有
這樣多的粒子佔據。
（注意這裡有個常數 或者能量的函式 。前者叫簡併度，表示有多個不同的微觀態具有相同的能級；後者叫態密度，表示 能量區間內微觀狀態的數目，是簡併度在能量連續變化情況下的推廣。顯然，它倆都跟具體的體系有關。
術語叫做跟體系的能譜有關）
這麼多，其中 是總粒子數， 是歸一化係數。
但是這個比例為什麼是指數形式？最簡單的辦法是應用Boltzmann統計法來匯出。這需要如下六個假設推出，留做習題：
理想氣體
熱力學極限（ ）
先驗等概率假設
能夠用排列組合法計算可能的狀態
最概然分布等於所有分布之和
可使用限制性拉格朗日乘子法（因為總粒子數守恆、總能量守恆）和斯特林公式（每個能級上量子態的數目都遠遠多於粒子的數目）計算最概然分布
到這裡，是從能量的角度看問題。但是，速度也是乙個可測量，如果把上述結論變成以速度為自變數的結論呢？
想到理想氣體幾乎沒有相互作用，那麼它的能量（準確來說是哈密頓量）只有動能：
那麼上邊的指數比例不變：
自變數需要變成速度。考慮真實世界是三維的，積分元應該是：
考慮到球座標：
考慮到這個分布是球對稱的，全空間立體角積分值為 ：
代入上邊那個分布：
於是就有了Boltzmann速度分布。如果要讓這個分布成為概率密度，前邊還要加乙個歸一化因子。這個因子還可以用量綱分析得到。（計算不難，留做習題哈哈哈哈哈哈哈）
較為精密的得到Boltzmann分布的辦法是用經典統計力學的系綜法做，有空再寫吧。
2樓：DYTY
對於乙個系統，我們可以用熱力學參量(溫度，體積，粒子數) 來描述. 但是從微觀角度看，系統可能有無數種可能的狀態 ，所以必然很多微觀狀態 都能使得系統具有同樣的熱力學參量 . Boltzmann分布就是說對於每一種使得系統具有熱力學參量 的微觀狀態 ,其出現的概率是 ，其中 是微觀狀態 具有的能量， ， 是使得概率 歸一化的常數(依賴於體積和溫度).
3樓：法南
多圖多圖多圖多圖
就是一種粒子依靠溫度的分布律。
玻爾茲曼分布律是描述理想氣體在受保守外力作用、或保守外力場的作用不可忽略時，處於熱平衡態下的氣體分子按能量的分布規律。
熱力學裡，溫度本質就是內能對熵（量綱為1）的偏導，那麼可以把kT理解為乙個體系能量的東西。
可以看看熱力學裡面kT究竟意味著什麼？裡面John Lee的回答很好，只是要糾正比例係數k是蒲朗克引進的（1900）。
麥克斯韋-玻爾茲曼分布律的公式如下
J.C.麥克斯韋首先獲得氣體分子速度的分布規律（1859），之後L.
玻耳茲曼由碰撞理論嚴格匯出。所以這個公式有兩種看法，是按速度分布，也可以是按能量分布（單個粒子速度和能量關係也就是 ）。
實質上，f(v)就是一種「密度」，要獲得分布的分數，需要積分：
這個積分從0到∞應該等於1，所以這個分布律的方程會有一大堆係數。
簡單推導
理想氣體滿足克拉伯龍方程,即理想氣體的狀態方程
其中 ， 就是阿伏加德羅常數，算啦算啦我不裝逼了，請允許我直接擺出清華的《普通物理教程》第九章以上。
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