為什麼 sinx x 的等價無窮小在這裡好像用不了?

時間 2021-05-06 04:55:05

1樓:百花肉

和差式必須整體使用等價無窮小,不能單獨拿出其中乙個項進行等價。而乘積則可以拿出部分因式進行等價,比值也可以單獨拿出分子或分母進行等價。

2樓:Wang Yuchao

加減的時候別隨便用等價無窮小代換,沒有定理保證這是對的(問題中就是個反例),但是等價無窮小定義可以保證乘除的時候是可以用的。對於題目這種情況,可以先通分化為乘除式再考慮用等價無窮小代換。

3樓:錢澤華

等價無窮小實際上是忽略更高階的無窮小的操作。

用實際的數來做例子,以1為正常大小的量,那麼 0.001003~0.001000005。

在計算除法時,0.001003/0.001000005≈1.002995≈1,後面的更高階小量是無所謂的,只要前面是0.0010即可。

但是在計算減法時,0.001003-0.001000005≈0.000002995,這個值很多時候是不能簡單≈0的

4樓:李文清

很多答案說的都對,但題主連這裡都弄不清楚,你們卻跟他說什麼泰勒展開啥的,這太沒針對性了,不利於題主理解;而所謂乘除能代換加減不能代換云云,其實並不太嚴格,而且也沒說清為什麼。

事實上,只要明白兩點,然後把書上給的答案和答主自己寫的答案省略的步驟補充完整,立即就會弄清問題所在了。

第一,sinx/x並不等於1,或者說sinx並不等於x,而只是sinx/x當x一》0時的極限等於1,所以把sinx/x本身直接代成1(或直接把sinx代成x)是不對的,只有把這一「極限」代成1才對;

第二,既然如此,你做題中,先得設法湊出sinx/x(還沒有求極限),這一步只能利用恒等變換,不能直接把sinx代成x或直接把sinx/x代成1;第二步,利用極限的運算法則,把原先的極限化成幾個極限的運算(加減乘除)結果,然後把其中的「sinx/x極限」代為1就行了。所以這一步是利用了極限的運算法則:兩個函式極限都存在的情況下(敲黑板,這句話非常、非常、非常重要!

),其和(差、積、商)的極限等於極限的和(差、積、商)(當然取商時還要求分母不能為0)。

明白了這兩點,回頭看書上的把sinx方換成x2那步,其實是分子分母同乘以x方(這是恒等變換),因分母本就有sinx方,這樣就湊出了x方/sinx方,把原式化成前面一坨乘以「x方/sinx方」後再取極限,它就等於前面一坨的極限乘以「x方/sinx方的極限」(也就是乘以1),它把這步省了。這麼做可以,是因為前面那坨的極限存在。

而題主所想的做法,可以有兩種途徑來理解:第一種,求極限前直接把前邊一項分母上的sin方x與x方互換,如前所述,這麼換是不對的;第二種,把括號中前一項先分子分母同乘以x方作恒等變換,湊出「sinx方/x方」,然後認為差的極限等於兩項的極限之差,其中前一項極限中考慮到「sinx方/x方」極限為1,才能得到題主寫出的式子。然而括號中那兩項,每項的極限都不存在,不滿足極限運算法則的前提,所以這第二種途徑也不對。

5樓:

用Taylor展開可以解決這個問題,有答案已經說了,我不再贅述我嘗試用等價無窮小的概念本身來說明一下

我們回顧一下無窮小的定義:

對於函式 而言

如果對任意(小的)正實數 0" eeimg="1"/>,存在 0" eeimg="1"/>

對任意 ,

即 則稱 當 時為無窮小量

等價無窮小的定義是這樣的:

設當 時,函式 與 都是無窮小,並且 在點 的乙個去心鄰域內不等於0則當 時,稱 與 是等價無窮小

而求某個函式的極限,如果函式表示式之中出現某個因式時,這個因式可被與之等價的無窮小所替換

這是個定理,需要嚴格證明:

考慮某個極限

並且函式 與 在 時是等價無窮小

則換而言之

是因為 ,才保證了

而再看另乙個問題

函式 與 都在點 的某個去心鄰域內有定義

如果 時, 是無窮小,即

就記為加減法的極限中

比如說你要算極限

並且告訴你函式 與 在 時是等價無窮小

注意這個時候你告訴我,說你想用 代替

行啊,不是不行,你滿足以下這個條件就行:

或 ( )

對於你這道題,實際上

由泰勒展開,你會發現 時, 與 是同階的無窮小所以顯然不滿足

6樓:方形拖油瓶

等價無窮小就是泰勒展開的第一階形式,比如sinx=x-1/3!*x^3+o(x^3),取第一階x,那麼lim(x->0)sinx/x肯定=1,所以碰到加減的不應該用等價,一般只有乘除用等價,直接用泰勒展開好了。

天滅等價,泰勒保平安。

7樓:「已登出」

1/(sinx)^2 x趨於0時極限不存在

不適用lim f(x)+lim h(x)=lim(f(x)+h(x))

故不能拆分

8樓:

因為只有\lim_(1/x-1/\sin)=0

而\lim_(1/x^2-1/\sin^2)=-1/3

所以你的答案差了個1/3

9樓:infamous

等價無窮小是等價,而不是相等,所以不能直接替換,你可以根據β∽α的充要條件β=α+ο(α),來直接替換,其實也就是泰勒展開式的內容

β∽α 定義是lim(β/α)=1 所以也就是在乘除運算中可以直接替代

就醬大一學渣一枚

大神勿噴

10樓:

等價無窮小的說法,不過是泰勒展開的簡化

如果我們把這個結果帶入到你的問題中,得到的是所以,我們可以看到這個極限的結果會 in the order of ,which is a constant.

如果我們保留更多的餘項

那麼其中,我們使用Taylor expansion所以,在極限情況下 0} \frac-\frac = \frac" eeimg="1"/>

BTW, 知乎插公式怎麼才能等號對齊呀~~~那一串居中對齊的公式,看得我強迫症都犯了。。。。

11樓:

等價無窮小替換只是侷限於關於x的單個分式,並對分子或分母整體做等價無窮小替換,這也就是為什麼正確的方法是先通分,然後對分母整體做等價無窮小替換。另外補充一點:limA和limB都存在,則lim(A+B)存在且等於limA+limB,反之則不成立,而你潛意識裡使用了lim(A+B)=limA+limB,然後再對A做等價無窮小替換,這當然是不對的。

其實學好數學分析(高等數學)最重要的一點就是搞清楚每個定理的適用範圍,做到這一點,你就能學得很好。

12樓:

等價無窮小代換定理

加減代換不適應,不能使用

設在自變數同一變化過程中,α∽α',β∽β'

如果limα'/β'=A

則limα/β=limα'/β'=A

這裡為什麼不能使用等價無窮小

可信 恰恰就是丟失了精確度 sin sin x x x 3 3 x 5 10 O x 7 Taylor series 吊人明燈 丟失精度了 在冪級數展開,保留x 3精度的情況下 sinsinx x 1 3x 3 sinx x 1 6x 3 可以看到丟失了 1 6 x 3 雖然沒有丟失整個第三階,但第...

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