1樓：dhchen
第一種情況：
假設你沒學過net這個概念，只是想問如果指標不可數是不是有可能成立。回答是肯定的，並且這個定理經常用,並且Rudin的教材上提到了。
這裡就用了乙個「不可數」版本的控制收斂定理
更一般的涉及到「可數性」的問題了：也就是在這個有序（拓撲）空間中 能不能等價於點收斂。
第二種情況：假設你已經學過了net convergence。
對於一般的net，這個結論不成立，但是，也有很特殊情況（對於函式和空間都不少要求）。具體參考下面的回答
A net version of dominated convergence?
2樓：豬豬俠
應該是不行的，如果你看過單調控制定理的證明，你就知道測度論基本控制定理成立的原因是可測集合滿足可數可加性：
其中 是不交的可測集.那麼當然不能推廣到函式族.如果上式是有限可加性，產生的就是Jordan測度和Riemann積分.
把有限可加性推廣到可數可加性，是Lebesgue等人的主要嘗試，既得到了更好的性質（即三條基本控制定理），又足夠實用（分析裡可數序列是常見的）.在可數可加的框架下，函式族沒有什麼好的性質，比如考慮
序由實數 的大小給出，這當然滿足很好的控制條件，但是你不能得到什麼有用的結論，因為它們單個的積分是0，而並 的積分已經爆掉了.
當然你可以繼續把可數可加性推廣到所謂的有序族可加性，這時你就有對應於有序族的一些控制收斂定理了，但這肯定被Lebesgue嘗試過了，我想建立在有序族可加性上的積分理論大概是沒有什麼用的，他們最終選取可數可加性不是心血來潮的，而是要考慮理論的假設條件是否太強（太強會導致不實用，就比如這裡的有序族可加性），假設條件是否太弱（太弱會導致沒有好的性質，就比如有限可加性基礎上的Riemann積分的性質不好），最後發現可數可加的定義是最好的.
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