1樓：
光滑流形上的Riemannian metric可以誘導出乙個測度，也就是所謂的volume measure。
需要注意的是曲線曲面的「黎曼積分」（也就是數學分析和復分析裡面分割求和取極限那一套）是乙個外蘊定義
2樓：cvgmt
感覺光有 Lebesgue 積分或者 Lebesgue 測度不夠處理曲面和曲線積分。
對可微分曲面 OK， n 維曲面每一點附近往該點的切平面作投影，在這個 n 維切平面上用 Lebesgue 測度，還可以，如果不是可微分的曲面呢？ Lebesgue 測度不管用，因為沒辦法搞出乙個切平面，沒辦法在切平面用 n 維歐氏空間的 Lebesgue 測度。
所以，應該要用更廣泛的其他測度，Hausdorff 測度，Radon 測度去刻畫。
這方面在微分幾何裡面一直都不用幾何測度論處理，不是很完美。
3樓：dhchen
對於你這個具體問題，乙個簡單地看法就是從Riesz表示引理的角度去理解，給定乙個曲面/曲線 , 你可以從"黎曼積分"地角度保證對於緊支集的連續函式 積分 存在，這就是乙個正的泛函，根據里斯引理，你可以得到乙個（radon）測度 保證
成立，其中 能cover所有 上所有的borel集。
這種理解的好處是可以cover掉全部的情況然後還不需要什麼複雜的結果，而且還能直接接收很多黎曼積分的結果。不過，這也會帶來直接的乙個問題，那就是 而是得經過一種完備化。
不知道你的基礎怎麼樣，Evans本人也寫了一本關於測度/函式的教科書measure theory and fine properties of functions建議你看一看。
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