1樓：半個馮博士
在高等數學中，證明一些中值等式的題目也是比較困難的。因為一般我們要花大量的時間去找乙個恰當的輔助函式，如果我們能熟悉一些特殊型別題目的輔助函式的構造及相關定理的運用，這樣就會為我們解題提供方便，從而節約大量的時間。為此我們需要牢記以下幾種常見題型中輔助函式的特殊用法。
(1)若題目中出現等式 時，一般可以考慮作輔助函式.
例：設函式在 上可微，且證明：，使得
分析：要證，即證，也就是證函式的零點.注意到，因此，只要檢驗函式是否滿足羅爾中值定理條件，但這是明顯的.
證明：
構造輔助函式，
則在上滿足羅爾定理條件，故，使得，而則即
(2)若題目結論中出現等式「」時，可考慮作輔助函式.
例：設函式在上連續，在內可微.證明：,使得：
證明：i）若作輔助函式均滿足柯西中值定理條件
所以使得
即ii）若由i）可類似得證.
iii）若取即證.
(3)若題目結論中出現時，可以考慮作輔助函式.
例：設函式在上連續0)" eeimg="1"/>，在內可微.證明：
使得。證明：因為
考慮作輔助函式 ，顯然 與 在 上滿足柯西中值定理條件，所以必 ，使得
即證畢.
(4)若命題結論中出現式「" 時，可考慮作輔助函式
例：函式在上連續，在內可導，證明：必有，使得
分析：們熟悉，因此作輔助函式，且知在給定區間內均滿足柯西中值定理條件，故有，即得證.
(5)若題目中出現式，可考慮作輔助函式
例：函式在0)" eeimg="1"/>上連續，在 內可導，則存在 使得
證明：由我們熟悉的，考慮作輔助函式且在給定的區間內均滿足柯西中值定理條件。
於是使得
即(6)若命題結論中出現等式「」的關係時,則需構成輔助函式為:.
**例: ** 設在上連續$(0
證明:設,顯然在上連續,
而 在內存在,
且 ,故 在上滿足羅爾中值定理條件.
於是必使得:,
所以:,
而,0" eeimg="1"/>,所以:.
證畢.(7)若題目中出現等式的關係時,則往往考慮構造輔助函式,因為 經過一次求導為 ,再次求導後,即 .
例: 設在上連續,在內二階可導,且,證明:,使得.
證明:設輔助函式,則 , 因為 在上連續,在內可導, 且:, 所以由羅爾中值定理知: 必使 ， ， . 證畢.
(8)若題目中出現等式的關係時,則需構造輔助函式,因為經過一次求導後為,再次求導後得到.
例:設在上連續,在內可導,且0，x\in [a,b]，f(b)*'(a)=f(a)*'(b)" eeimg="1"/>
試證:必使得. 證明:設，得,， ,然在上連續，在內可導，
則, 故滿足羅爾中值定理條件,因此: 必使得, 而, 即證畢.
(9)若題目結論中出現等式「 」,的關係時,則可考慮構造輔助函式.
例:設在上連續，,內可導，且.
證明:作輔助函式，顯然, 在上連續在 ,內可導，且， 故滿足羅爾中值定理條件，因此，必使得而 ,
由於,故
證畢（10）若題目出現等式「 」的關係時，則需兩次構造輔助函式，第一次構造，第二次構造
例：設在上可導，在內二階可導，,0 " eeimg="1"/>,試證：使得
**證明：**因為0" eeimg="1"/>,所以與同號,設0 " eeimg="1"/>
即0" eeimg="1"/>，所以 0,\exists x_ \in (a,a+\delta )," eeimg="1"/>使得0" eeimg="1"/>, 0 ," eeimg="1"/>所以 0,\exists x_ \in (b-\delta ,b)," eeimg="1"/>使得,
又因為在上可導，故在上連續，即在上連續，
而0,f(x_2)<0" eeimg="1"/>,
所以由介值定理（或零點定理）,
使得再看，由題目結論，構造輔助函式，
因為所以,故
使得使得由可得
令所以有
即又因為在上連續可導，
所以使得即而故
證畢羅爾定理: 如果函式在閉區間連續，在開區間可導，且在區間端點的函式值相等，即。那麼在區間內至少有一點 使得在該點的導數等於零，即
題型一：
設函式在上連續，在內可導，且，證明對任何實數，至少存在一點使得成立。
分析：首先從結論看起，欲證，即證，即。而要，就促使我們想到去構造輔助函式的思路，即構造的函式應該滿足在上連續，內可導，，，如果這樣的話，但是在點a和點b處都沒有定義，所以不滿足，從而不是我們所需要的輔助函式，但是注意到指數函式的特點，當對數運算和指數運算相互抵消後得到的新函式的定義域可能會擴大，從而可能成為我們找的輔助函式.
若令，則滿足以及羅爾定理的其他條件，所以，由羅爾定理得知：至少使得，而,所以，而0" eeimg="1"/>，所以只能，即成立，由此就是我們所需構造的輔助函式.
注意：在分析題目時，如果我們從不同的角度看它就可能會構造不同的輔助函式，也就是說，對於解決同乙個題目，所構造的輔助函式可能是不唯一的.
例設為上的連續奇函式，且在內可導，又，
試證明：對任何實數，都存在使得。
證法一：由題型一的結論可作輔助函式,則在上連續，又因為
在內存在，且
所以它滿足羅爾定理條件，
故必，使得， 即證畢.
證法二：若設，則在上連續，
且在內存在， 又因為 ，
所以它滿足羅爾定理條件，
故必使得.
證畢.題型二：
證明，使得。
分析：仍然從結論入手，把變形，且將變為，則有：
， 而有乙個原函式,
由題型一，最好將輔助函式作為.
例取函式在連續，在內可導，且，
試證明在內至少存在，使得.
分析：由該題型的輔助函式為可知，待證等式中的，從而得到，將改為即，因此輔助函式.
證明：取輔助函式.則在連續，在內可導，且，滿足羅爾定理,
故必使得,由於,
將帶入上式，並去掉非零因子，即得證原式成立。
附註：讀者可將題型二的取為或是帶入將得到一系列的命題.
題型三：
證明存在，使得。構造的輔助函式
例：設函式在連續，在內可導，，，證明：存在，使得.
分析：待證等式可變形為，即。與題型二的一般形式進行比較可知為的情況，因此可作輔助函式.
證明：取輔助函式.則易知在連續，在內可導，，由羅爾定理，至少存在一點，使得，由於
，將帶入上式，
即有，故。
證畢.附註：由題型三可以演變出一系列的題型.
如：證明存在使得，，,構造的輔助函式
例：設函式在二階可導，，求證：存在，使得
證明：取輔助函式。由於，在上二階可導，對在上應用羅爾定理，
則必存在
使得，於是有,
因為，且在可導，
對在上應用羅爾定理，必存在使得,
由於將帶入上式，並去掉非零因子，即證得原式成立。
證畢.題型四：
證明存在，使得，為常數。
注意：此題型需要構造兩次輔助函式，第一次構造；第二次構造
例: 設函式在上連續，上二階可導，，0" eeimg="1"/>，
求證：存在，使得
證明：由0" eeimg="1"/>，不妨設0，f'(b)>0" eeimg="1"/>，
由導數的幾何意義，
在的右領域中存在，使得f(a)=0" eeimg="1"/>,
在的左領域中存在，使得,
且令 則由應用零點定理可知存在 ，使得 ,
取，則 在上可導，且，所以分別在和上應用羅爾定理，
存在使得； 存在使得=0.
因此，令,
則在內可導，
由於在上應用羅爾定理， 存在,
使得由於,故有
拉格朗日中值定理：如果函式在閉區間上連續，在開區間內可導，
那麼在區間內至少有一點，使等式成立。
亦即.例：設函式在連續，在內可導，0" eeimg="1"/>，，
證明：存在使得，.
分析：先將等式變形，即有，通過觀察，我們會發現等式的右邊是, , 形式），因此構造的輔助函式, 再觀察等式左邊可知，從而得到輔助函式, 通過拉格朗日中值定理尋找與的相同部分，得出待證結論.
證明：取輔助函式，易知在上滿足拉格朗日中值定理條件.則存在
使得又,
所以 1)
取, 易知在上滿足拉格朗日中值定理條件，
則：，2)
比較（1）（2）可得,
即證畢.
構造了輔助函式證明了柯西中值定理，就意味著柯西中值定理適用於所有函式了嗎？
天井的草 我也是很困惑，因為這個建構函式還有乙個前提就是f x 和F x 是兩個引數方程，分別表示橫軸和縱軸的座標，但話鋒一轉，柯西中值定理拿去證明泰勒級數了，泰勒級數裡面的函式是所有符合可導可微條件的函式，這樣未免銜接的很不嚴謹，我很不習慣，希望有大神解答一下 我都快忘了。兩年前我學高數的時候學的...
有沒有大神可以解釋求微分中值定理時用微分方程構造輔助函式的原理？
Song 這個問題只能限於一階的羅爾定理。也就是 給兩個零點，給乙個目標式 的那種題目，話先說在前面，微分方程是最後的保底，而不是一上來就用的方法，因為你必須得對 抽象函式和具體函式結合在一起進行求導 變形會有什麼樣子 有基本的認識。我們循序漸進地來講。例如題目是 設 求證在 上存在 使得 你會發現...
在高等數學利用微分中值定理解決問題時，如何準確的構造出輔助函式？
已登出 證明過程 尋找輔助函式 其實，說真的，在羅爾定理的基礎上，證明拉格朗日定理是非常簡單的，只需要構造乙個輔助函式套用一下羅爾定理就得到了拉格朗日中值定理。問題是這個輔助函式怎麼來的，有什麼規則嗎，是從天而降的？當然不是，還是有一定原因的。細想一下，拉格朗日是從羅爾中去掉f a f b 這個條件...