1樓：Song
這個問題只能限於一階的羅爾定理。也就是「給兩個零點，給乙個目標式」的那種題目，話先說在前面，微分方程是最後的保底，而不是一上來就用的方法，因為你必須得對「抽象函式和具體函式結合在一起進行求導、變形會有什麼樣子」有基本的認識。
我們循序漸進地來講。例如題目是
設 求證在 上存在 使得
你會發現這種題都是找乙個輔助函式 ，使得題目裡的 能夠被這個輔助函式利用成為 ，從而應用羅爾定理 .
所以這裡啟發我們： 和 是等價的
我們需要找的就是 ，更換一下變數，我們所需要的就是找到 中的 ——但問題在於，我們沒辦法繼續積分了，所以直接看這樣的等價是沒有意義的。
我們轉而研究 。把它換個變數就是
這很明顯是乙個微分方程——但我們並不是要解 ，所以事實上你直接套用什麼一階線性方程的答案，對你毫無幫助。我們要對它進行變形，使得它一側是某個函式的導數。
化簡一下它等價的微分方程：
它也就是
而上式左邊就是
這括號裡面被求導的東西就是 ，對比我上面說的 你就可以知道 .
這種方法能處理的最複雜的情況就是目標式為 的情形，也即出現了非齊次項。（所以可以看到，這種方法侷限性是非常大的）
如法炮製，
從而 把右邊挪進求導就完事了：
你需要的輔助函式就是
之所以說這是解微分方程，是因為這種做法可以得到
，這就是你熟悉的一階微分方程。
湖心亭看雪：微分中值定理證明題中構造輔助函式的方法
說微分方程解決不了抽象函式的問題，這當然是不全面的。只要目標式形如 ，都可以用上面的方法來做，無論裡面涉及的函式是不是抽象的。
例如那個作者聲稱微分方程做不出的
但實際上，
就做完了。
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