1樓：無名之人
低情商：
梯度是0形式取微分後得到的1形式
旋度是1形式微分後的2形式
散度是2形式微分後的3形式
高情商：
別管什麼玩意，算就完了。
梯度就是函式沿某個方向的值的變化；
旋度就是對乙個曲面上的旋度積分會得到原函式沿邊界的線積分的玩意，遇到沿邊界的封閉迴路積分就把它變成對旋度的面積分；
散度就是對體積內的散度積分會得到原函式關於封閉曲面的面積分的玩意，同樣遇到面積分就把它變成對散度的體積積分。
（我也不知道那東西學名叫啥，反正就是那個用ijk和相同符號代表求和來簡化計算的玩意）
2樓：步響曲鳴
首先這三個名字的目的很明確，也很樸素。
散度：為了描述乙個點向外發散的程度
旋度：為了描述乙個點旋轉的程度
梯度：為了描述乙個點陡峭的程度
(至於拓展到三維場以外的情況但形式差不多而繼續沿用這些名字，又或者一些純粹進行代數運算而沒有太明顯物理意義的場合暫時放一放)
明確目的之後，就是如何從定性分析到定量計算
首先是散度，拿按摩球舉例
直覺上我們會覺得，綠色的比黃色向外發散得更強烈，因為它的刺很突，又特別多刺，很密。
這啟示我們可以用類似的方法描述乙個點的發散程度。
假如乙個點由中心向外射出很多箭，我們突然拿個球把它包起來，它看起來就像個按摩球一樣。
那我們就真拿個體積為V的球把要描述的點附近的向量包起來。
接下來想辦法描述刺凸的程度。
刺凸起來有方向，凸出了一定的程度，又有方向，向量也是個有大小有方向的東西，可以很好的對應。
刺通過了一定的面積，顯然垂直凸出的時候最強烈，而與面平行的時候凸了個寂寞。那麼我們就定義乙個量，這個量與向量的大小、向量與面的夾角有關
——然後數學上真就這麼幹了，定義為向量的大小*cos(向量與垂直於面的向量的夾角)，並把這樣定義的玩意叫通量，通過的量，也是很樸素的名字。
而密的程度如何，直覺上我們可以看按摩球在單位體積上刺的多少(說白了就是密度)來判斷——那麼定量描述也類似的，把通量全部加起來再除以總體積，算平均乙個區域的通量是多少，也就是在整個閉合球體上把通量積分再除以總體積。
然而這時描述的並不是乙個點的通量密度，而是乙個球的通量密度。
沒所謂嘛，我把球作得足夠小，小得跟個點一樣，不就相當於點的通量密度了。
這時候再看散度的定義式：
積分式裡的A·dS是向量場A在面積dS上的通量，在整個面上積分，最後除以總體積，並把體積作得足夠小(趨於0)
事實上不一定是要作個球，任何封閉體積都行，不過道理是這麼個道理。
此外，可以注意到只要把符號反過來，即可描述向中心集中的現象。
沒別的了，散度的定量定義完事，怎麼算扔給數學家，下一題。
旋度，描述乙個點旋轉的程度。
描述旋轉程度的方法也可以認為是一種"比較法"
我們事先整個繞得最厲害的東西——繞回原點的閉合線。接著看被閉合線圍起來的區域內的向量指向和閉合線指向的相似程度，越高則說明這片區域越繞，即這片區域旋轉的程度越強。
顯然應該指向相同時最高，有夾角則減弱，垂直為0，而向量和沿著閉合線一小段的向量的數量積(向量大小*cos(向量與路徑指向夾角)很好的符合這個要求。在整段閉合線段上重複這個操作，進行閉合路徑積分——於是便真的這麼定義了，稱之為環量。
如果你一下子接受不了上面這句話，就當是不停地切一小段出來，比較向量和閉合線平行的程度。越接近說明越繞。
環量只是描述一片區域旋轉的程度——沒問題，老方法，把區域S圈得足夠小，就相當於點了。
注意到，我們是在乙個二維平面上描述環量的，即向量場在某個平面投影的環量。通常情況下，投影到不同平面的環量是不一樣的。
旋度的投影面選擇取得最大環量密度的投影面，並除以投影面積得到單位面積的環量(即環量的面密度)，將面積縮小趨於0以描述乙個點而非一片區域。
既然投影面有擇取，理所當然的希望旋度這個量能告訴我們選了哪個投影面能有最大環量密度，因此旋度指向與最大環量密度投影面的法向量平行，以此攜帶「最大環量密度」和「最大環量密度的投影面」兩個資訊。
這時候再看旋度的定義式：
n為最大投影面的法向量，curl v表示向量場v的旋度，v的旋度在最大投影面上投影為等式右邊的最大環量密度，積分式為環量，裡面的v·dr意思是擷取一小段L上的線r，r指向路徑切線正方向，作v和r的數量積(可以認為相當於比較二者平行的程度)。S為閉合線L包圍起來的面積。
至此定義完畢，怎麼算丟給數學家。
(這一段講得相對枯燥很多，也沒扔圖，忽略了部分細節，切入的角度為了盡可能避開專業術語也犧牲了一定的準確性，但仍然可能有些晦澀，如果不懂可以追問。)
梯度，這個應該上三個度裡最容易接受的乙個。
乙個點沿不同方向的變化率可能是不同的。就像樓梯的邊緣朝里很平緩，而朝外急劇變化一樣。因此不同的方向都會有不同的變化率。
很顯然描述乙個點多陡峭，我們一般是選最陡峭，也就是變化最大的來說。
所以梯度是該點最大變化率，指向有最大變化率的方向，以攜帶「這個方向變化率最大」，「變化率大小是這麼多」兩個資訊。應該不必多介紹。倘若需要可以追問。
3樓：張景斌
梯度就是求偏導數組成的向量，散度就是偏導數加起來形成的標量，旋度就是外積（叉乘）這個向量。其實沒什麼，把高等數學裡各種等式與不等式（包括斯托克斯公式和高斯公式，傅利葉變換）背下來就好了。
4樓：神魔協奏
它們都是外微分與對偶微分構成的。
由於微分形式的反稱性，重複指標的分量總是0，乙個n維空間的l形式的維數是乙個組合數：dim Λ(l)＝n!/l!
(n-l)!。由組合數的性質，它也應與(n-l)形式有相同的維度，如此兩個向量空間就有同構對映*，如此定義的(n-l)形式稱l形式的「對偶微分形式」。
3維歐氏空間的向量場與對偶向量場是認同的。由上的*，對偶向量場(作為1形式)與2形式也認同，同理，標量場(0形式)與3形式也有認同。
梯度是乙個0形式到1形式的對映：grad f＝df。
旋度是外微分作用在乙個1形式上，將其變為乙個2形式，再用*變為1形式：curl A＝*dA。
散度是*將1形式認同為2形式，又通過外微分變為3形式，最後再通過*變為1形式：div A＝*d(*A)。
5樓：欽心
梯度、旋度和散度是用來描述「場」的。
「場」是物理量在空間的分布。比如電場、磁場、溫度場，等等。
梯度是向量。梯度是描述標量場的。舉例：溫度場（溫度在空間的分布）就是標量場。梯度表明溫度場T（x，y，z）在該點處沿著梯度的方向變化最快，變化率（導數）最大。
旋度是向量，描述向量場的性質。舉例：小河的流水可以看做速度場。
如果河水勻速直著向前流，那旋度就為零。如果有漩渦，那漩渦中心的旋度就不為零。漩渦越急，旋度越大（旋度的模越大），旋度的方向就是旋轉軸的方向（右手定則確定）。
散度是標量，描述向量場的性質。舉例：乙個炙熱的點，向周圍輻射熱，那這一點的散度就》0，黑洞的散度<0。
全部回答，沒有乙個算式。不知算不算通俗。
6樓：張舟
1.粗略來講，梯度作用在標量場上，它最直觀，就是一元微積分中斜率的自然推廣，它描寫參考點附近場值變化最快的那個方向和對應此方向的變化率，散度和旋度作用在向量場上，散度可以視為通過閉曲面流量和所圍體積之比的極限，由此可知它描寫參考點附近源的強度，給出的是乙個標量場，旋度是閉曲線上環量和所圍面積之比的極限，由此可知它描寫的是參考點附近環流的強度，因為乙個點對應三個方向的有向面積，所以給出乙個向量場。
2.科大版《高等數學導論》和Schey編寫的《散度、旋度、梯度釋義》都講得比較直觀清楚，可以找來看一下。
7樓：萬物之鯉
簡單說，散度和旋度是對於向量場而言的，梯度是對於標量場而言的。
直觀的理解，先說標量場的梯度。以爬山為例。爬山時會關心山體的緩和急。
如何衡量緩急，可以用朝某方向水平移動單位距離海拔上公升的高度來衡量。這就是梯度，因為要指定具體朝向，因此標量場的梯度是向量。
再說散度。假設有一隊士兵排成隊例勻速走過一段直線道路，每位士兵都具有乙個速度向量，而且他們都具有同樣的速度向量（同樣的大小和方向）。當走到道路盡頭時，隊例開始分散，士兵的速度向量方向不再相同，而是各有所指。
如果衡量這種分散？可以用士兵間速度向量的差別來衡量，這就是散度。因為分散是朝各個方向的，因此不用指明某個方向，所以向量場的散度是標量。
最後是旋度，還是這列士兵，如果他們沒有分散，而是開始繞某個士兵開始轉圈。如何衡量這種旋轉，當然可以用士兵間速度向量的相對角度來衡量，這就是旋度。由於還要指出旋轉軸的方向，因此向量場的旋度還是向量。
以上只是為了形象而做的十分粗略的描述，而更加嚴密的數學定義要到書裡去找。
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