復變函式中的柯西定理究竟該如何證明？

1樓：

Stein/Ahlfors上用polygonals逼近都挺無趣的, 這裡提供乙個利用Stokes定理的證明, 看到的出處是L. Hormander.

假設, 對 換底

在 對應有 , 那麼解析函式的意思就是 .

選擇, 考慮 (選擇 使得 )

我們發現 在這區域解析.

由於Stokes定理:

取 和一些計算我們得到

時最後一項converge到 , 並且如果 解析, 那麼左邊這一項消失.

現在取 .

2樓：Mr.Zhang

我最近見到的證明是北大吳崇試老先生課上的

用C-R方程結合Green公式證明的

我覺得這種證明方法對於我乙個只有高數基礎的人來說比較好理解

3樓：Zhuchao Ji

柯西定理我見過的最一般的版本在Ahlfors的書上，是關於全純函式在同調於0的閉鏈上積分為0的。注意到當區域單連通時每條閉鏈都同調於0。多插一句，在Ahlfors的書上你可以找到很多這種帶拓撲色彩的復分析定理，所以我一直覺得學復分析之前應該先修微分幾何和拓撲。。。

另外，譚小江老師的證明沒有錯誤，只是他略去了一些細節，這些細節是可以補充完整的。我想之所以譚小江在這裡不陳述一般的柯西定理，是因為這個版本在很多情況下足夠用了，而且不需要引入太多的拓撲。

4樓：dhchen

第一步，先證明乙個定理： 的（復）原函式為,在乙個（至多逐段光滑的）曲線（從到），那麼. 特別的，如果這個曲線是閉的，則.

第二步，對於任何乙個調和函式, 首先證明每乙個圓上的確存在它的乙個原函式。 基本思路是定義

, 其中

滿足. 而且

第三步，從上面兩個結果自然可以推出你想要的結果。記住，這個結果是針對「逐段連續可微」的曲線。對於一般的rectifable Jordan曲線（可求和約當兒曲線），這個Cauchy定理是成立的，但是證明起來就technical，請自己去啃吧.

有興趣去啃「Complex Function Theory「這本書。我本人不推薦乙個人在這個技術細節上浪費時間，真的意義不大。連線是乙個不太複雜但是也不太嚴格的證明。