1樓：xdra
這個概念貌似特別廣，也是超級強大。有一類情形是在二維平面圖上的經典統計物理模型。在統計物理中，如果你考慮正方晶格上的Ising模型，對於乙個給定的溫度 ，你用高溫展開和低溫展開來分別將配分函式寫成級數求和，你就會發現這兩個級數結構完全一樣，唯一區別在於乙個不重要的整體係數和展開中的小量。
公式中, 為配分函式，對於(某乙個特定的)高溫展開和低溫展開，展開小量分別為 和 。如果加上系統存在且只存在乙個相變點 的假設，那麼後果就是配分函式在 上會出現奇異性。而配分函式的結構就要求奇異點就必須滿足：
因此相變點是 。也就是說不用通過求配分函式直接可以匯出正方格仔上Ising模型的相變點。在歷史上，確實也是先知道了臨界點再知道配分函式的。
上面是最經典的乙個例子，其實更嚴格的說是self duality.也就是自己和自己dual，這源於正方格仔的對偶晶格還是正方格仔。對於二維一般格仔，上面的結論可以推廣，這時候duality 將格仔和其對偶格仔的配分函式聯絡了起來，比如三角格仔和六角格仔。
總結一下，duality可以說是兩個模型的一種對應關係；self duality中，兩個模型是同乙個模型，但是引數不同，這時候可以看成是看待同乙個問題不同的角度。與此相似的是，乙個數學上更簡單的例子就是高斯分布和它的對偶分布（將高斯分布做Fourier變換得到的分布）,這兩個都是高斯分布，只是方差存在乙個對應：乙個很大，那麼對偶的就很小，反之亦然，這其實就是諧振子基態位置和動量對應的分布，這裡也直接反應了不確定性原理。
可以看出上述所有的都和高能理論中那些Ads/CFT之類高大上的對偶相似:都是強弱對偶。
至於最早的起源，在Kadanoff的統計物理教課書中，他追溯到了Possion求和公式。
2樓：braveheart
不知道最早。
一維量子ising 模型可以通過自旋變換map 回本身，interaction energy 和transverse field 互換。因此phase transition在兩個parameters 相等時發生。另外aubry andre model 也可以通過變換得到localization transition point。
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