1樓：Gabriel
先從離散的情況開始考慮
我乙個袋子裡有100塊錢。先拿出10元，還剩90；再拿出5元，還剩85；再放進去20元，還剩105；再拿出來3元，還剩102
請問袋子裡的錢一共變了多少？
這是乙個小學生都會做的題。傻子都知道，102-100=2.
當然你如果吃飽撐的話也可以這樣做這題-10-5+20-3=2，結果是一樣的
這個故事告訴我們，總變化量等於分開變化量之和
如圖1，距離和時間的函式。假設時間是個離散值。當t1、t2、t3時，距離分別為s1，s2，s3。我們知道s/t就是速度v，在圖二中以豎軸表示。
看圖一，我們計算t1到t3總共走過的路程，就屬於前面說的硬幣第一種計算方法，直接用最後的距離減去t1時刻的距離。也就是S3-S1。看圖二，其實也很好理解。
在0-t1時間內以v1速度走，這個時間段裡距離s就是vt=v1（t1-0），同理得t1-t2和t2-t3.
圖二中計算總路程就是v1(t1-0)+v2(t2-t1)+v3(t3-t2)。我們知道速度是距離的微分，也是距離影象（圖1）的斜率，也就是距離的變化速率。變化速率和時間的乘積就是變化量。
變化量的和就是總變化量，也就是第一張圖的S3-S1的值。
接著考慮時間連續的情況。讓我們把統計的時間間隔縮小，直到Δt -> 0 我們得到連續的函式圖譜。
我們知道要求時間和速率在t1-t2間走的路程，可以用圖1，s2-s1，也可以計算圖二中速度和時間在每乙個極小時間段內的乘積。這時時間是dt，速度是dv。總距離就是
抱歉首次回答，不太會用公式生成器。。。手寫的請別介
2樓：
F(b）-F（a）可以寫成拉格朗日中值的形式，又fx連續，則一致連續，即可以證明，具體參看數學分析（華東師大版）
同濟的定積分部分怎麼說呢，看的莫名其妙，按理說應該從定積分定義入手證明，他直接來乙個變限積分函式，同濟的基本是教你會用就可以了，看到這個定積分形式，立馬轉換F(b）-F（a）。。。
3樓：imwonderstruck
說說證明
證明：設：F(x)在區間(a,b)上可導,將區間n等分,分點依次是x1,x2,…xi…x(n-1),記a=x0,b=xn,每個小區間的長度為Δx=(b-a)/n,
則F(x)在區間[x(i-1),xi]上的變化為F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)
當Δx很小時,
F(x1)-F(x0)=F』(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F』(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F』(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F』(x1)*Δx+ F』(x2)*Δx+…+ F』(xn)*Δx
當n→+∞時,∫(a,b)F』(x)dx=F(b)-F(a)多看幾遍就記住了然後你就會覺得簡單了啊
4樓：
匿名使用者：同濟版《高等數學》有什麼缺陷？
你覺得繞是因為邏輯本來就有問題，積分上限函式是不定積分的本質，而不是什麼原函式。
定積分（也叫黎曼積分，Riemann Integral）為給定區間無限分割求和，求和符號 拉長變成表無限 ，
的微分 區別於有限分割求和的 表示無限分割。
構造從積分上限對映到定積分的函式，稱為不定積分，
Ⅰ. 由定積分定義，積分上限增加一，不定積分恰增加一，後者是前者的無窮小量（說下「無窮小量」這個將錯就錯的歷史名詞，它並不表示任何量的大小，而是說明乙個量趨於零時，另乙個量的變化趨勢，故而高階低階不是大小不同而是變化速度不同），這直接說明不定積分之導數為被積函式，故不定積分可逆用求導法拼湊原函式求得。
(你之前在計算不定積分時所用的變數代換，湊微分，分部積分，不都是逆用求導嗎？)
這裡我們指出求不定積分時的任意常數 實質是沒有給出乙個明確積分下限 。
Ⅱ. 據定積分對區間的可加性（由定義和幾何意義可以看出）即可將定積分表示為不定積分的兩個值的差。
注意到等式最右邊的兩項積分下限一致，因此任意常數 的選取不會影響定積分的計算。
到這兒就差不多了，但我還是建議繼續往下看。
我們回過頭來看， 是 在 上的總變化值， 是在 上每乙個小變化值之和，二者相等是理所當然的。因此整個公式的核心就在於Ⅰ.中的，
也即 只要此式成立，公式就成立。
從積分看，它要求被積函式在極限情形下具有線性函式的性質（或者說，函式足夠地光滑）；從微分看，。你對此式應十分熟悉，它就是微分的表示式，而微分也是極限情形下對函式進行線性近似。現在你對「微分與增量之差是的高階無窮小」的意義應有了更深的體會，將其移項即 。
傳統教材中的導數一章中微分的那一節並不是沒有意義的，整個積分學是以此為基礎的。
(課本裡不是管微分叫增量的「線性主部」嗎？如果非主部的部分可以忽略，不就是近似當作線性函式來處理嗎？)
所以說，微分法和積分法都是在極限情形下對函式的線性處理方法，用線性函式去逼近非線性函式。
由此衍生出的冪級數理論是在一定範圍內，用線性函式的組合去逼近非線性函式
這個論述並沒有建立任何新的概念和理論，僅僅是把邏輯串起來講而已。把不定積分只理解為找原函式，說真的還停留在牛頓之前的時代。
在這一概念下，你自然明白這種微積分的適用物件是什麼。
Ⅰ中定義的不定積分並不一定每一點都是可導的，並不是一定存在的，容易看出「 連續時，必是其原函式」。若 不可導便不能稱其為 的原函式，也就不再是通行教材中的不定積分（原函式+任意常數C）。這就是為什麼即使定積分可積，但原函式卻不一定存在。
然而出於應用公式計算定積分的目的，個別點的連續性並不會影響定積分作為和式極限的存在。只要採用分段求和的辦法，每個區間上的原函式仍是存在的。
所以，牛頓萊布尼茲公式適用於的函式是那些足夠光滑，以至於在極限條件下可作線性函式來處理的函式。
這個「光滑」的要求很特殊，雖然很常見卻只是所有函式的冰山一角。基於對函式影象的認識，似乎看得出「除了少數特殊點以外，連續函式在每一點處都可導」這一常識，然而影象和解析表示式只是函式的表示形式，函式的定義則沒有任何有關連續與可導的必然關係，許多常識往往受制於想象力的限度。對此反例的尋找，得到了維爾斯特拉斯函式（Weierstrass function），它是實數域 上的連續函式，但處處不可導。
那麼如果極限情形下的線性近似 對於某些函式不再成立，比如著名的Dirichlet函式。這是當然，因為這線性近似並非函式的一般性質。對於這樣的函式該怎麼辦呢？
願Lebesgue指引你。
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