1樓：三千弱水
這個是2023年約翰霍普金斯大學高中數學競賽【微積分部分】的倒數第二題
JHMT 2013 Calculus Test
利用斯特林公式，得到
接著要用到漸進展開裡面的Watson引理，這裡不做介紹
再變為適用Watson引理的形式
當，利用Watson引理，則兩個小區間內的積分值等價於
因為，則區間上的積分被包含在上的第乙個積分中，所以
方法二
當時上面的不等式證明要用到
再利用斯特林公式，得到
所以補充下
當時，所以
參閱：[1]Watson lemma
[2]Asymptotic expansions and Watson』s lemma
[3]lim-n-to-infty-prod-k-1n-left-frac-2k2k-1-right-int-1-inf?noredirect=1
[4]evaluate-lim-n-to-infty-prod-k-1n-frac2k2k-1-int-1-infty-fra?noredirect=1
2樓：Perplexboy
水平有限沒能完整做出來，就敘述一下思路吧。
記要求極限為
首先，當 時，有
這個漸近關係也可以根據 乘積得到。
然後，依 公式及二項式展開定理，有
當 時，有
同理，當 時，對於每個固定的 ，當時都有
於是有利用一些簡單的分部技巧，有
因此，有
至於 的計算就無能無力了，除了像@無人之馬 那樣的 估階外想不到什麼好辦法了，也不知道這樣能不能做出來。再次膜拜大佬。
如何證明如下無窮乘積極限為0？
人間謫仙 記方法一易見 單調遞減且有下界為0.因此可設 根據Stolz定理有因此 方法二根據Bernoulli不等式,得 1 frac frac.eeimg 1 因此由於 0 eeimg 1 從而 根據夾逼準則知 梧桐鹿 設 是一列實數,我們將形式積 稱為無窮乘積.記 為部分乘積.如果某個 為零,則...
這個極限怎麼計算？
首先說明，答非所問，但是不想刪這個回答 我們可以推廣乙個更通用的結論 現在開始證明 由於對 0,exists k in N eeimg 1 使 故 於是 又故由夾逼定理 其實很簡單，從直覺上來說1 x的積分近似於ln x，而這裡分子不是1，而是 sin x 由高中物理電學知識，我們知道 sin x ...
含有積分e （x 2） 的極限怎麼計算
馬小刀 請認準洛必達法則！只要屬於 或 型，就可以使用。什麼，有積分符號？正好，求導後可以脫去積分現原型。留意到式子中間有減號，需要先通分，而不能直接對減號兩邊的項進行洛必達。通分後觀察，確實是0 0型，留意到分母是 預感要來3次洛必達 每次都要先檢查是不是0 0，以確保題目是正確的 於是可以洋洋灑...