1樓：白秋什
」其實這個問題可以可以推廣到任意進製。
首先對於十進位制，3、6、9肯定是3的倍數。30、60、90也是3的倍數，那麼3的倍數的某位上加三而不進一位的話顯然該結論成立。那現在從加三會進一位來考慮，對於最簡單的9，加3後個位變為2，十位變為1，加起來是3。
那8加上8為什麼不成立呢？對於9+3，我們應注意到9已經是最大數了，如果在3裡面取1，加到9上，進一位該位為0，下一位(即十位)加1，受影響的兩位加起是1再加上剩下的2，還是3的倍數。
上面只是最簡單的情況，下面說說普遍情況。對於任意位數的3的倍數，設其中任意相鄰的兩位是a1和a2，假設a1小於(因為說明了進一位的情況，進任意位數的也就明顯了）。在a2的位上加3，進一位，a2的位置變為a2+3-10，a1的位置變為a1+1，把兩個位置的數加起來就等於a1+a2+3-9。
明顯變化的數字也是3的倍數。
但是為什麼3有這樣的待遇呢？其實隨便換乙個數字假設為7，這樣上式就變為a1+a2+7-9。到這就很清楚了，9並不是7的倍數，自然沒有3的特性。
我們可以發現9還可以是自己的倍數，所以3的特點也可以用到9上。這也是為什麼用手指就可以背九九乘法表中9的位置了。
但是像3和9感覺就被眷顧一樣，其他數字是不是也可以有這樣的性質呢？
其實觀察一下就知道9可以寫成(10-1)，我們用十進位制數的時候可能不會在意這麼多，但是用到其他進製時就可以找到相應的數的類似性質。在十進位制時由於3和9是最大數的因數，所以任意乙個所有位數相加是3(9)的倍數的十進位制數都是3(9)的倍數。那我們可以猜想如果某個數n是該進製最大數的因數，那麼在該進製下，任何乙個數n1的所有位數相加得到的數n2是n的倍數的話，那麼n2就是n的倍數。
舉個例子，4553515是乙個八進位制數，所有位數加起來是28，而且28是7的倍數。7是八進位制中的最大數，那這個八進位制數也應該是7的倍數。將這個八進位制數轉換成十進位制：
4*8^6+5*8^5+5*8^4+3*8^3+5*8^2+1*8^1+5
得到除以7後得到：
這是乙個整數，證明了這個例子是正確的。
2樓：林聲飄揚
#include
int main()
int x,y,sum=0,label=1;
for(x=1;x<30000;x++)
y = x; label = 1;
sum = 0;
while(y)
sum+=y%10;
y/=10;
if(sum%3==0)
if( x%3!=0)
if(label==0)
printf("數的各個位數之和是 3 的倍數,麼這個整數就一定是 3 的倍數不成立,如：%d\n",x);
else
printf("\n成立!");
return 0;
3樓：
其實很直觀，證明也很簡單，沒那麼多長篇大論。
因為10-9=1, 100-99=1, 1000-999=1.. .而9,99,999天然是是3的倍數。
同理想驗證乙個數是不是9的倍數，也可以用各位相加是否為9的倍數來判斷。
4樓：jacobian
首先可以引入同餘的概念，即a和b被p除有相同的餘數，記作 ，這裡數學的語言描述一下就是, .
既然有了同餘的概念，我們可以引入幾條顯然的同餘性質實際上對於乙個不大的數來算，直接用除法可以很快的計算出乙個數的模p的餘數來，但是有沒有更加簡單的辦法呢，因為任意乙個整數，不管它是用什麼進製表示，都可以表達為乘法加法減法的組合運算.基於這個考慮一般來說會很自然的想到四則運算基於等價關係是不是有一些性質呢？如果有將會變得比較簡單。
所以結論顯然是成立的。
所以關於加法和減法自然就有
既然加法有這樣的性質，乘法有沒有呢？
結論也是確實是對的，下面簡單證明一下.
有了這些性質以後，任何同餘的問題都會變得比較簡單。
任取乙個整數s，假設用十進位制對其進行表示則有我們接下來只需要利用前面證明的結論，套一套就可簡化問題。
顯然有 ，那麼馬上會有下面的結論
簡單歸納可以知道
由於 那麼再次利用同餘的乘法性質自然有
那麼利用同餘的加法性質可有
既然知道了s和 模3同餘，那麼3整除a_0 + a_1 + ...+ a_n 時，有
5樓：陪你去看海
奇怪了？今天上完廁所出來就在想這個問題，結果晚上刷知乎就看到了！現在網路那麼厲害嗎？大腦想什麼都能算出來，之前從沒有搜尋過類似問題的
6樓：現充小王子
每個數都可以寫成a*10^N+b*10^（N-1）+c*10^(N-2).....
每個項都可以拆解成可以被3整除的部分和餘數部分
假如把a*10^N這個項拆成a個10^N，然後再除以三，我們可以得到a個(3.33333...（小數點後面N-1位）*10^(N-1)......1）
我們發現只要把餘下來的a個1給消滅掉，就說明這一整個數可以被3整除了
然後我們對組成這個數的每個項都做相同的事情，發現餘下來的是a*1,b*1,c*1....
於是我們把他們加起來一起消滅，就是檢驗（a+b+c+....）的和能不能被3整除
如果這些餘數的和也能被3整除，那麼這個數就能夠被3整除。
7樓：
abcd=1000a+100b+10c+d
=999a+99b+9c+a+b+c+d
=9×(111a+11b+c)+a+b+c+d
8樓：
證明這個問題最直接的方式，是先從正整數著手，把任何乙個正整數都表示成如下形式：
，其中 是正整數。
接著，有以下等式成立：
即再接著，稍作變換，得到：
易證（比如用數學歸納法）， 能被9整除，自然也能被3整除，其中 為任意正整數。
於是，如果 這些數相加所得之和能被3整除，則 能被3整除。
9樓：計院char等生
這還用證？
1除以3餘1
10除以3餘1
100除以3餘1
10^n除以3餘1，
所以每位的1對除以3的餘數來說貢獻都是1
證完這是腦子裡的思路，你把他整理出來用數學語言寫出來就行了。
10樓：我突然想
這是因為10進製的原因。
10的n次方是9999.…9+1（n個9，n為正整數)2乘以10的n次方，是2乘以9999…9+2(n個9)以此類推，當x是0到9的整數時。
很容易就得到x乘以10的n次方除以3的餘數和x直接除以3相等，畢竟可以拆成n個9加x。
把每乙個正整數拆開看。
任意正整數除以3的餘數就應該等於該正整數各位數之和除以3的餘數。
這個可能中間跳了一步，但是我覺得跟上了思路就理解了。
11樓：小道道
小學老師就是按照最高贊的方法舉例講的……但是這個方法卻成為了最高贊出現在「當前的知乎」中……
深思中……
有些明白了
沉默中……
12樓：南中國海的一條魚
引理：證明：設 ，則 ，顯然， ．
設 ，所以 ．
當 時， ，
，設 ， ，十進位制自然數實際上就是 ．
待證定理可表示為
證明： ，，，，．
13樓：氫氧結合體
看到這個問題想起了大概是小學五六年級的一些胡思亂想，強答一波，可能有些偏題
如其他高讚回答所述，各個位數之和是3的倍數能推導出這個數本身是3的倍數的原因，在於隱含條件「十進位制」——3恰好是10-1=9的因子，從而有 ，
進而 ，
，也就是十進位制數的每一位和這一位的數字本身在模3的意義下是等價的，因此整個數和其各位數字之和在模3的意義下也是等價的。
這個結論是顯然的，也是小學奧數老師就會講的；然而，神經剪枝速度同齡人後1%的我當時想的是，為啥3（其實還有9）才能用這種簡潔的方法算呢？為啥11就要用奇數字之和減偶數字之和、7和13就要用後三位減前面的這種沒啥邏輯的鬼畜演算法來算呢？為啥除了顯然的2和5的整除性之外，只有3、7、9、11、13這幾個數可以有簡便演算法呢？
出於對對稱性的狂熱，這個問題很快變成了：是否能推廣3的結論，通過計算十進位制下廣義的「各位數字之和」來簡便判斷某個數模另乙個平凡的數的整除性呢？
然後很快我就想明白了，11以及7和13的特殊性，和3、9其實是完全同理的；而這個道理可以推廣到任意乙個和10互質的數——
結論1：對任意滿足 （n與10互質，就是n不能被2或5整除）的整數n，均存在乙個正整數p，使得乙個自然數從低位開始每個連續p位之和和它自身關於n的整除性一致
規範表達（大概）：
（發完發現漏打了個n與10互質，公式編輯又突然出了bug，麻煩自行腦補下sorry） 使得
通俗表達：隨便寫乙個自然數，3212711461007478，就有：它和3+212+711+461+007+478關於37的整除性一致，和3212+7114+6100+7478關於303的整除性一致，和3212+711461+007478關於21的整除性一致......
結論就是，對於每乙個與10互質的n，都能找到一種類似的分割法，使得原數和分割後各部分之和關於n的整除性一致
總之我當時推出來的時候感覺「啊，我又懂了，數學真美」
確實這對於乙個小孩子來講已經是挺燒腦的發現了，然而實際用起來才意識到...求餘數？還是只有2/3/5/9/11能直介面算，別的，python，啟動！（逃
————————以下為推導——————
證明:（我試著不用太數競的語言吧，首先不用求和符號）
引理1：對互質的任意兩個整數 ,存在乙個正整數 使得
（這其實是數論尤拉定理的極簡版，證明後附）
根據引理1，
對與10互質的n，必存在乙個正整數 使得
那麼對這個，就有
Q.E.D.
————————以下為更複雜的推導——————
引理1證明：
首先，因為a和n互質，a的任意次冪都和n互質
這是顯然的，這個沒明白的話建議查查互質定義，還想不出的話.......記下結論就好了（
如不存在這樣的p，則對任意正整數q，還有
由於n是乙個給定的正整數，乙個和n互質的數除以n至多有n-1種餘數（再排除掉1之後就只有n-2種了，問題不大），而q可以隨便取，無窮多個形如 的數放到有限的n-2類裡，必有無窮多個在同一類裡；我們其實不需要無窮多個，只需要其中的兩個，設它們為q1和q2，並且假設q1>q2，則：
那現在考慮一下這個數：
因為q1-q2>0，它也滿足,不妨設它除以n的餘數為r，則它可以表示為
其中這個餘數r可能是任意2，3，...，n-1中的任何乙個正整數，唯獨不能是1
那麼就有
因為 ，因此被n整除的全部責任就落在了r-1的頭上：
等等...r本身就是個除以n算出來的餘數且不能等於1，那麼r-1既不是0又比n還小，還怎麼被n整除啊？！矛盾！
因此，必然存在乙個p使得 ，Q.E.D.（壓力馬斯內
如何證明 證偽 三的倍數的各個位數加起來仍然是三的倍數
QDelta 這是乙個經典的初等數論問題 對於乙個十進位制數 可以有如下表示 其中 為 十進位制下的各位數碼，比如 由於 所以 所以 故只要n的各位數碼之和被3整除，n就被3整除9同理，將以上證明中的 mod 3 換成 mod 9 就可以了再附贈一條性質 乙個十進位制數是否被11整除可通過其奇數字之...
如何降低體脂率到個位數？
肌肉核彈 題天賦很重要。個位數的話如果你想自然達到幾乎，運動員賽季一般都會使用藥物迴圈減脂，人的身體在自然情況下會保持一定的體質了。維持健康狀態。 晚來天欲雪 我體脂最低的時候9.7。其實我也不知道為啥，當時大三，沒啥事的時候就去健身房跑跑步，隨便練練 小白，不懂方法 可能是平時比較喜歡運動，堅持跑...
為什麼乙個整數的五次方的個位數會跟這個整數的個位數相同？
之乎者也 這很容易回答，所有整數的個位數無非是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數其中的乙個，而這十個數五次方後，所得個位數仍然是其本身，所以整數的五次方的個位數跟這個整數的個位數相同。 改進海康 問題即求證k 5 k整除10 這就簡單了，化簡一下 k 5 k k 1 k k 1 k 2 ...