1樓：Hand
同調一開始確實是從拓撲學引出的，但正如許多數學工具被發現後有了更廣泛的應用一樣，同調也類似，所以有了更多代數方面的特徵。
從更樸素的定義上可以比較直觀的看出同調群衡量了乙個chain complex 的exact程度，反應了一些chain complex的性質，再加上同調群相對來說結構簡單一些，方便計算，就用的比較多了。
以上是我個人的一些理解。
2樓：康有德
外行來隨便答答。數學裡面有一類問題只關心流形的拓撲性質，而不關心其微分性質。比如二維曲面分類，龐加萊猜想(定理)。對這類問題，鏈復形，同調群是乙個自然的切入點。
當然隨著數學的發展，代數拓撲也用在了各個不同的領域。個人感覺代數幾何的剛性最強，微分流形和拓撲流形比較軟，但是乙個問題就是微分幾何中的量/性質是否能在代數幾何中找到代表。
這些我都不懂，隨便說說。
3樓：沃州放羊娃
首先拓撲根本上是一門研究拓撲空間的學科，拓撲學家們想把一些拓撲空間進行分類，創造出了同胚，homotopy equivalent（同倫等價），weak homotopy equivalent等equivalent relations. 而代數拓撲希望給這些空間一些代數資訊，從而看出不同空間之間的關係。所以我們想找一些homotopy invariant functors, from certain category of topological spaces to certain category of abelian groups。
而同調(Delta, simplicial, singular, cellular)恰好是一模擬較直觀，又比較好計算的functor。
我最近又有了新的理解：
關鍵還是好算，為什麼好算呢？因為他來自於stable homotopy theory，可以看成是一般homotopy theory of spaces的線性逼近。
4樓：劉大寶
所有同調的核心就是作差，不是什麼函子範疇這些abstract nonsense(雖然再其他意義上理解很有用)。同調就是將區域性差別紀錄下來，既得到一些結構的障礙也得到整體不變數。最為踏實的數學觀念。
要知道，給一般的乙個拓撲空間，研究手段是極為有限的。線性逼近是普通人唯一的想法，因此自然想法是用單形去逼近，然後把區域性差別紀錄下來。而且，單形有一種由尤拉偶然發現的不變數!
早期Poincaré的同調論把這些差用一大堆線性方程寫下來，後來才發展到打包成群結構。那些方程實際就是有限生成阿貝爾群的自由分解的"關係"。至於每個同調群的拓撲意義，可以去看用單形算出來的東西，或者算sphere和torus這樣的例子。
沒有所謂嚴格寫下來的直觀性。畢竟拓撲空間本身就是抽象，我們可以抽取出一些貝蒂數就已經很好了。那些冗長的代數就是我們的直觀!
在各個更具體的領域，這些量會得到相應更具體的描述，因此再反映出同調論的威力。
也許這些簡單的事情題主都清楚，那麼題主感到迷惑的原因可能就是沒有好好去操作書中的數學物件，只是一下午看了一大堆，感覺頭昏腦漲，尤其是hatcher的書寫得密密麻麻，東扯西扯的。不去做數學，怎麼學數學？不一定要做習題，可以假想自己去做個lecture，要講相應的內容。
能把看到的構造再現出來嗎？這也是做數學。
5樓：
同調群包含的資訊雖然比原有的復形要少, 但你可以更方便地把玩它。而且在同調的語言下很多結果都是如此簡潔, 什麼Betti number, Euler class啦。
6樓：
There is a quite related post at here:
cohomology - What is (co)homology, and how does a beginner gain intuition about it?
The answer given by Reid Barton is really nice.
7樓：
我覺得初學的時候不要太陷入到代數裡面，畢竟它是拓撲，簡單的理解的話確實就是在「數洞」。形而上的，「拓撲學是研究空間連續變化下不變數的學科」。同調也只是各種不變數之一。
我覺得初學強調 category theory 並不是乙個好的途徑。
不嚴格地，它描述的東西是「閉的但不是邊界的鏈」——這樣的「鏈」就圍成了「洞」。如果你願意花費時間的話，我建議可以先學習並計算一些單純同調，這其實也用不了很多時間。然後就會稍稍有些感覺。
單純同調的東西是可以看得到的。只有算例子才能培養直觀。
第乙個令人興奮的定理應該是類似 van Kampen theorem 的 Mayer–Vietoris sequence 了。然後你還會證明一些經典定理比如 Jordan curve theorem，Brouwer fixed-point theorem 等東西。
8樓：謎團
我個人理解同調也是有很好的直觀的意義的，只是很多作者為了強調代數的可計算性，有意或者無意的不去提同調的直觀。直觀上，你可以理解同調就是去探測高維的洞。探測的方式是用高維的「三角形的」的布。
舉個例子探測二維的洞（乙個平面的圓周）用乙個二維的三角形，二維的三角形裡面可以含有乙個圓。這時候對這個二維三角形求邊緣之後的結果必然是0.也就是說屬於閉鏈群。
但是由於中間有洞這個二維三角形不會是乙個2維單純形的邊，所以不屬於邊緣鏈群。所以邊緣鏈群和閉鏈群會有差別。這個差別就是反應洞的數量的。
同理三維的洞就是乙個空心球，這個空心球可以放到乙個空心四面體的內部，對空心四面體求邊緣，結果是0。但是由於是空心的，不能是乙個三維單純形的邊。所以這裡的邊緣鏈群和閉鏈群也會有差別。
總之，直觀上，同調群就是去算高維的洞。
9樓：Yan Zou
既然有 @塵銳案 的大作在前,我也沒啥必要反對啦.
同調比同倫好計算並不是乙個完全正確的答案。事實上有的空間同倫群比同調群簡單得多。
關於係數的意義，你可以自己check一下RP^n的同調。有趣的東西在於，Z/2係數下它的同調（上同調）結構非常簡單，並且0～n維同調群均不為0，但是在Z係數下它的偶數維同調為0（基本上是）.基本上就是李國華答案的第一段。
代數拓撲的這些工具，如同調群同倫群，都是探測空間的不變數，換句話說是：我知道兩個空間滿足某種等價關係則它們的某個不變數是一樣的，比如同倫等價的空間有相同的同調群。於是兩個空間有不一樣的同調群則它們一定不同倫等價。
對於狄拉克運算元的答案也不是很滿意。這個說法太容易誤導了。雖然本質上是對的。
另： Hatcher需要有老師帶著看。建議你先從《從微積分到上同調》看起。
10樓：十一太保念技校
假如你看Spanier的話其實就很清楚，代數拓撲的核心思想就是找functor，從拓撲空間的範疇到代數的範疇（群範疇，交換群的範疇，環範疇，...）道理也很簡單，拓撲空間研究起來沒有直接的工具，但是代數的工具卻很多。這可能是對你第乙個問題的回答。
對於我而言，第乙個讓我感到驚訝的定理是Mayer-Vietoris序列。簡單地說就是是單射，那麼未必是單射，對映的核隱藏在裡面。
/*這就暗示著同調可以有類似於Derived functor的結構。我曾經花很長的時間思考這個問題，但具體的構造可能要在sheaf cohomology裡面找答案*/
11樓：狄拉克運算元
基本群的直觀的意義就是探測1維的洞，等價於有多少種從到的連續對映（模去同倫類），同理高維基本群的意義就是探測n維的洞，亦即到的連續對映模去同倫類。至於同調群，其實也是探測n維的洞，但是關於「洞」的理解有不一樣。首先考慮乙個n維球面，它的n維同倫群和同調群都是，表面在同倫和同調意義上都具有乙個洞，這在幾何直觀下還是比較好理解的。
要直觀的感受同倫和同調群的區別除了1維時的交換性之外還可以考慮一下兩個例子。
1，考慮乙個環麵，它的2階同論群為零，但2階同調群確為，想象乙個麵包圈的表面，其中空部分確實有個2維的洞，但這個洞的形狀不是如2維球面狀的，而是環狀的。所以你說這個圖形有沒有2維的洞，取決於你怎麼定義洞這個概念，也就是取決於選擇同倫群還是同調群。
2，考慮2維球面，這是個2維的圖形，直觀想象應該沒有3維的洞，所以其三維同調群為零，與直觀符合。但是Hopf fibration告訴我們存在非平凡的連續對映,也就是說在同倫意義下其存在乙個3維的洞！只不過我們很難「看」到。
至於如何從同調群的定義中看出其也是探測洞的本質，只需多算乙個例子，比如,將其進行三角拆分或CW拆分，具體算一下，就好理解了。
更常用的是上同調，其直觀意義更難理解，可以參考De Rham上同調，從分析的角度把握。
12樓：
拓撲水平不夠，不便隨便答，勉強寫點看法。
平常接觸的圖形比較直觀，但某些抽象出來的複雜圖形用直觀難以把握，高維圖形本身也沒有直觀可以借鑑。
那麼要用一些工具，群是一種選擇。
我們用同倫群或同調群或別的什麼來刻畫拓撲空間，對於同胚/同痕/……的拓撲空間應該得到同樣的群，那麼就可以由這個代數上明確的物件來得到一些分類。
同倫的基礎是連續變形，但不好計算。同調相比之下更好處理一點。
代數拓撲中的同調和上同調有哪些聯絡？
xinggu 取拓撲空間 以下所有 上 同調群都取整係數。當 或等價地,為degree wise 有限生成交換群時，兩者的關係有非常具體的表達方式。對任意有限生成交換群 有唯一的直和分解 其中 為 free abelian group，為 torsion abelian group.則 Univer...
代數拓撲裡面什麼叫做spectrum？
給乙個infinity category，我們可以做stabilization，得到乙個stable category 就是triangulated category的infinity version spectrum就是space的stabilization。 簡單講，reduced suspen...
為什麼代數拓撲裡同倫的概念要使用閉實區間？
Sayako Hoshimiya 不一定需要。參考是Cisinski的新書Higher Categories and Homotopical Algebra的第二和第三章。xinggu 提到的universal homotopy theories好像挺酷的 xinggu 這並不是乙個簡單的問題。事實...