1樓：李歸農
首先要多學東西，什麼都不懂是不可能知道有什麼好問題的，更不可能知道怎麼解決問題。大多數時候解決問題是需要有很多經驗，然後把許多不同文章裡的方法拼接起來。這樣就有乙個大致的證明思路，但是可能還有個別地方有技術困難，再花點時間克服這些困難，一般來說文章也就寫成了。
那種真正要用全新的方法，從頭開始想的證明是極少的，也只有天才才能想到。但是活用別人的工具和方法並不丟臉，而且用好了也有可能做頂尖的工作。就算是Wiles證明FLT，他的證明也依賴於許多別人的理論，然後自己做工作把這些東西銜接起來。
一般來說好問題有幾個標準：
1. 有趣
所謂的有趣大多數時候就是有一些閃光的地方，不是那種純粹的對別人工作的無關緊要的改進。比如張益唐得到prime gap是有限的，你去改進那個gap，在我看來就沒什麼意思。當然，你能大範圍改進也需要有新的想法，但是數學上證明存在性，估計得出有限，這些都是本質的進展。
數學是研究結構的，還是應該著眼於結構來做工作。
2. 用到的數學要盡可能多
唯有如此才能在做工作的過程中多學東西，在做工作的同時提公升自己，從而越做越好。我發現許多外國數學家的工作質量在50以前都是不斷上公升的，而中國數學家在30以後卻不斷下滑。究其原因，中中國人覺得找到乙個自己能吃飯的方向就滿足了，一直做同一樣東西，不少人40以後就開始驅使學生打工或者徹底養老了，而外國數學家經常能做著做著發現和相關領域的聯絡，從而出一些大工作。
3. 自己對該問題有一些想法
這樣才值得去試，否則只能是浪費時間。比如你要做Hodge猜想，就算有想法也肯定是胡思亂想。尤其是在數學生涯初期，你對數學沒有基本的sense，想法肯定是錯的。
或者你想想Deligne，Mumford，Griffiths難道不想解決Hodge猜想嗎？他們都沒摸到邊，你的那些所謂想法肯定是扯淡，就不必學馬仁義了。
4. 避免那些太熱門的問題
這條標準特別適用於你不是頂尖機構中大牛的學生的情形。比如HMS，做的人太多了，你再去做就得跟別人搶。那麼你是Seidel，Smith，Abouzaid，Auroux，Nadler這些人的學生嗎？
如果是的話那沒問題，如果不是就得想一想：別人的資源比你多，又能從導師那裡得到幫助，你覺得你能搶得過嗎？避免熱門問題同時也是避免步人後塵，沒什麼不好。
那種規規矩矩解決熱門問題的文章的確能發好雜誌，然而這只是一時混得比你好，千百年後不會再有人記住他們。
5. 與自己現有的資源契合
比如你老闆或者你熟悉的人，或者你周圍的大學或研究機構裡面有沒有這方面的頂尖專家？如果有的話你隨時能諮詢他們，得到幫助，做工作就要容易很多。如果沒有的話需要郵件交流，而且跟陌生人打交道還要防止idea被人偷走，那就很累了。
比如我在倫敦，在倫敦做數論就很合適，因為有Fred Diamond, Kevin Buzzard, Toby Gee等等這些響噹噹的人物。假如你想做表示，那來倫敦就不合適了。
6. 可持續發展
這也跟你選問題的眼光有關。如果眼光足夠好，那就能由此發展出一整套理論，甚至開創乙個全新的領域，你可以持續在這個方向上做工作，形成自己的數學風格。我說的持續在這個方向上做工作絕不是說要做narrow specialist，而是可以馳騁於乙個廣闊的大方向。
比如Seidel，他選擇發展symplectic Picard-Lefschetz theory就導致了大量重要而有趣的工作，開創了自己的學派。如果你仔細看Seidel的文章，他用到的工具涉及每個領域，只是工作背後的一些基本哲學一直沒變。如果你選擇做乙個problem solver，東一榔頭，西一棒子，工作之間毫無關聯，那麼要麼你就是極為聰明，要麼你就是道德低劣，四處要飯。
就算你極為聰明，以這種工作方式也不可能開創領域，成為大師。
許多人都覺選擇把命運交給導師，所以未來發展如何，有沒有做適合自己發展的方向都得看運氣。然而並不是所有出色的數學家都是靠運氣才做上好方向的。比如我聽說Seidel 94年剛開始跟Donaldson的時候，就已經知道自己未來要證明什麼樣的定理了。
因為他那時候已經有足夠多的數學知識儲備。現在的學生整天刷GPA，或者英語分數，好不容易出去了卻什麼都不會，這就是所謂批量生產的phd，基本就完蛋了。如果你實在覺得自己水平不行，那還不如先找個好地方讀master（推薦出國讀，要不然master畢業你弄不好就走不掉了），用時間來給自己創造機會。
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