1樓：Abelian Grape
幫 @宙宇001 簡化一下用歸納法的答案
正式證明之前，先提出分拆的定義與乙個斷言吧。
我們定義 為整數 的所有分拆的集合。如果分拆 , 那麼 .
再定義分拆數 ，
我們定義 為分拆 中 的出現次數， 為分拆 中不同元素的個數。
為了方便，
不含1的整數 的分拆 的個數，為
斷言1證明：
考慮補集，然後思想和很多組合題一樣，就是找雙射(bijection)。
這個斷言等價於證明『存在從 到集合 的雙射， 是所有中含 的分拆的集合。』
定義 而 是乙個往 裡加了 的分拆。
先證明 因為是加了乙個1，所以 且一定含1，
（ 是函式就不證了）
證明是單射(Injection)。如果 ， 那麼不同的元素肯定不會因為加 而消失。所以 .
接著，證明 是滿射(Surjection)。對於任意 去掉乙個 得到 , 一定是 的分拆。 則 。滿射得證。
所以是從 到集合 的雙射。
由雙射性質，我們可得， .
即，含1的整數 的分拆 的個數，為P(n-1) 。 斷言1得證。
斷言2：.
由『斷言1』中的雙射 ， 可以直接得出。
斷言3：.
我們可以先考慮 中所有 的和。對於本身含 的 , . 所以對於這些拆分， 不變。
對於不含1的 , 則 . 我們只要找有找中有多少個不含1的拆分就知道要加多少了。
由『斷言1』可以得出， 個。
所以我們只剩下非 中所有 的和。我們定義這個為
所以，我們現在知道
.只要證明了 , 命題就能通過歸納法得證了。
關於求, 我也是看了@宙宇001回答才知道怎麼構造的。
斷言4：
先舉個例子，這樣好講些。
我們可以通過乙個對映，把6的不含1的拆分，變成4的拆分。
6的不含1的拆分是， 。
為了方便算，我們給拆分的表達加一條規則：如果第一位數字不同則也視作拆分不同。第一位之後的數都得從大到小排。(比如(3,3,2)和(2,3,3)不一樣)。
這樣的話，我們創造了乙個新集合 而且 .
我們的對映就是對於 中的每個拆分 都先去掉第乙個數，然後，沒滿4的話, 就在拆分末尾用1填滿直至總和為4。
舉例，(如果去了頭就啥也沒有的話，就留著兩括號吧...
如果已經滿4了，就不必補1了。
推廣一下，
令 ，是要看分辨第乙個元素並且不含1的分拆的集合。由此可得， .
對映 . 是先把 中的第乙個數去掉，然後再末尾一直加1直到總和為 我們斷言是乙個 到 的雙射。
首先證明這個對映是良定義的：因為 不含1，所以去掉乙個數，總和一定小於n-2，不會無法進行運算。這個定義也保證了不會出現一對多的對映。
（新規則規定了 中分拆第一位數字之後得從大到小排，所以也不會出現一對多）。
接下來，證明 . 因為總和為 , 得證。
再證明， 是單射。如果，那麼去頭後仍然不一樣（因為總和一樣啊）。再加1的話，也不會改變前面不一樣的事實， . 單射得證。
最證明， 是滿射。對於任意的，我總能把1全部去掉，然後補乙個和 的差值得到乙個分拆 , 這個 一定滿足 。（就是把前面的演算法倒過來）
所以， 是雙射。因此，
命題得證。
以上是歸納法，感覺還是挺煩的...我覺得或許還有更巧的方法？？？ 因為這個關係真的看起來很有對稱性的樣子...
2樓：宙宇001
該問題還是挺有意思的，我的證明想法如下：
記號：用 記 的所有拆分集合，用 記 所有拆分中 出現的次數， 記 所有拆分中不同數字的個數的總和. 記 為 拆分中出現 個 的拆分集合，用 表示集合 中元素的個數，有以下基本關係：
現在我們來推導 的遞推關係，由上面的記號，對集合 的每乙個元素 ，去掉拆分中的 ，本質上就是 的不含 的拆分，所以我們可以得到 同理，對集合 的每乙個元素 ，去掉拆分中的 ，本質上就是 的不含 的拆分，即 特別的，這裡面令 . 現在我們就可以給出 的遞推式，即 上面兩式作差，利用關係 和 ，我們可以得到
現在為了證明 ，在歸納的基礎上，只要證明 現在我們來說明這個關係，用 記拆分 中不同數字個數，那麼 ，其中只要乙個 ，去掉該 得到 的拆分 ，此時 同樣的 ，去掉 得到 的拆分 ，此時 記 那麼由 ，我們可以得到 所以 ，並且當 時， 有而 ，所以我們可以得到第乙個遞推關係 任取 ，假設 ，設不同的數字分別為 ，那麼由於 中沒有 ，所以 . 對於每乙個 ，可以在拆分 中去掉乙個 得到新的拆分 ，該拆分必然落在某乙個 中，而且不同的 都去掉乙個元素得到 ，必然有 . 對於每乙個 ，對拆分中每乙個不同數字都遍歷地去掉一次，所有的操作次數就是 ，每一次操作都與 中的乙個元素對應，並且 中的每乙個元素都有乙個操作對應，操作不同對應的元素也不同，所以我們可以得到 根據 和 ，就可以得到遞推關係 綜上所述，再利用數學歸納，就完成了命題的證明.
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