1樓：愛因是蛋
我來給你一些思路，但是要完全解決問題還得看你自己。
我們就譯為首一 多項式好了。
假設 為首一 多項式，且 ，因為 ，可得 ，於是得到這麼乙個結論：
命題 ：若 是某首一 多項式的根，則 也是該多項式的根。
這個結論可以提供很多資訊，比如，首一 多項式的根肯定是模為 的。如果 的模不是 ，則 必是無限集合，它們不可能都是乙個有限次數的多項式的根。於是，題目要求的整係數首一 多項式，肯定和分圓多項式有千絲萬縷的關係。
對於低次方的整係數首一 多項式多項式，直接在分圓多項式及其乘積中找就行，運算量也不是很大。是不是所有分圓多項式都是 多項式呢？不是，比如 就不是。
命題 表明首一 多項式的根集合在平方下封閉。那麼，根集合在平方下封閉的多項式是不是多項式呢？不一定是，比如 。
但是命題 還是提供了乙個方法供我們尋找特定次數的所有首一 多項式。比如三次的首一 多項式 ，利用其根集合在平方下封閉的性質，可以得到一些方程組，各個求解即可。但是，如果不考慮輪換對稱，那麼會得到 個方程組，每個方程組又有好幾組解，可見非常繁複。
但是如果考慮根的輪換對稱的話，可以簡化到只有幾個方程組。
當次數是 時，只有乙個根 ，為了保持平方封閉性，必有 ，於是 或 ，從而只有 和 兩個首一 多項式。
當次數是 時，設 為首一 多項式，則有以下三種情況(考慮輪換對稱)：
1、 , ，這種情況給出 、 、 這三個首一 多項式。
2、, ，這種情況給出 、 、 這三個首一 多項式。
3、, ，這種情況給出 、 、 這三個首一 多項式。
所以，二次首一 多項式全體為 、 、 、 、 這五個。
當次數是 和 時情況就多很多了，不過考慮根的輪換對稱性還是能簡化不少。來個復係數的三次首一 多項式：
考慮到根在單位圓上，並且保持其平方封閉性，就可以構造很多首一 多項式了。例如最後問到的是否存在非整數係數的實係數首一 多項式，我構造了乙個如下：
通過上式第一行的分解式易證它是 多項式，不過我還是直接給出 的因式分解為好：
因式分解的前三個因子乘積剛好是 。
2樓：睎xii
其實這是一道歸納題
引理：如果f和g均有性質「fsp」，那麼f×g也具有性質「fsp」。即若f(x)和g(x)分別是f(x)和g(x)的因子，那麼f(x)g(x)是f(x)g(x)的因子。
根據乘法的分配律和結合律，上述引理不證自明。
x和x-1是一維的所有的「fsp」函式
證一維函式設為x＋b，那麼x＋b＝(x＋i√b)(x-i√b)，也就是b＝-i√b或b=i√b，即b＝b或b＝-b，得到b＝0，±1，又因為僅在實函式考慮，所以捨去1，證畢。
那麼根據上述定理，x，(x-1)，x(x-1)就是二維的「fsp」函式。那麼是否有遺漏呢？我們只需要考慮如下命題：
是否可以找到函式f和g，使得f或g至少有乙個不是「fsp」函式且f×g是「fsp」函式。
很容易驗證，上述猜想對於二維情況（f和g均是一維函式）是不成立的。
於是推廣到高維可以猜想出那張表：用「引理」和「乘法原理」寫出來。
不過我的論述並不嚴格，只是提供思路，拋磚引玉。
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