1樓：是久伴我還是
用不等號將兩個解析式鏈結起來所成的式子。在乙個式子中的數的關係,不全是等號,含不等符號的式子，那它就是乙個不等式.例如2x+2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x＜3，5x≠5等 。
不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地，用純粹的大於號、小於號「＞」「＜」連線的不等式稱為嚴格不等式，用不小於號(大於或等於號)、不大於號(小於或等於號)≥」「≤」連線的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。
不等式的最基本性質
①如果x>y，那麼y<x;如果y<x，那麼x>y;(對稱性)
②如果x>y，y>z;那麼x>z;(傳遞性)
③如果x>y，而z為任意實數或整式，那麼x+z>y+z;(加法則)
④ 如果x>y，z>0，那麼xz>yz;如果x>y，z<0，那麼xz<yz;(乘法則)
⑤如果x>y，z>0,那麼x÷z>y÷z;如果x>y，z<0,那麼x÷z<y÷z。
⑥如果x>y，m>n，那麼x+m>y+n(充分不必要條件)
⑦如果x>y>0，m>n>0，那麼xm>yn
⑧如果x>y>0，那麼x的n次冪>y的n次冪(n為正數)
如果由不等式的基本性質出發，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，以上是其中比較有名的。
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解不等式可遵循的一些同解原理
主要的有:
①不等式F(x)< G(x)與不等式 G(x)>F(x)同解。
②如果不等式F(x) < G(x)的定義域被解析式H( x )的定義域所包含，那麼不等式 F(x)<G(x)與不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。
③如果不等式F(x)<G(x) 的定義域被解析式H(x)的定義域所包含，並且H(x)>0，那麼不等式F(x)<G(x)與不等式H(x)F(x)<H( x )G(x) 同解;如果H(x)<0，那麼不等式F(x)<G(x)與不等式H (x)F(x)>H(x)G(x)同解。
④不等式F(x)G(x)>0與不等式同解;不等式F(x)G(x)<0與不等式同解。
編輯本段
注意事項
1.符號:
不等式兩邊都乘以或除以乙個負數，要改變不等號的方向。
2.確定解集:
比兩個值都大，就比大的還大;
比兩個值都小，就比小的還小;
比大的大，比小的小，無解;
比小的大，比大的小，有解在中間。
三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。
3.另外，也可以在數軸上確定解集:
把每個不等式的解集在數軸上表示出來，數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那麼這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。
4.不等式兩邊相加或相減，同乙個數或式子，不等號的方向不變。(移項要變號)
5.不等式兩邊相乘或相除，同乙個正數，不等號的方向不變。(相當係數化1，這是得正數才能使用)
6.不等式兩邊乘或除以同乙個負數，不等號的方向改變。(÷或×1個負數的時候要變號)
編輯本段
不等式證明方法
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。 (1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質:
「a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b」。其一般步驟為:①作差:
考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作乙個整體;②變形:把不等式兩邊的差進行變形，或變形為乙個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為乙個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段;③判斷:根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。
應用範圍:當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。 (2)商值比較法的理論依據是:
「若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b」。其一般步驟為:①作商:
將左右兩端作商;②變形:化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1。應用範圍:
當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關係為:
AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明AB的邏輯關係為:
BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是:為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。
5.換元法換元法是對一些結構比較複雜，變數較多，變數之間的關係不甚明了的不等式可引入乙個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。
(1)三角代換法:多用於條件不等式的證明，當所給條件較複雜，乙個變數不易用另乙個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同乙個引數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有:
①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ;②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1);③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ;④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法:在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。
如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。
6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而借助乙個或多個中間變數通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有:
(1)不等式的傳遞性;(2)等量加不等量為不等量;(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有:①捨掉(或加進)一些項;②在分式中放大或縮小分子或分母;③應用均值不等式進行放縮。
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重要不等式
柯西不等式
對於2n個任意實數x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有
(x1y1+x2y2+…+xnyn)^2≤(x1^2+x2^2+…+xn^2)(y1^2+y2^2+…+yn^2)
柯西不等式的幾種變形形式
1.設aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)則，當且僅當bi=lai (1£i£n)時取等號
2.設ai,bi同號且不為零(i=1,2,…,n)，則，當且僅當b1=b2=…=bn時取等
柯西不等式的一般證法有以下幾種: ①Cauchy不等式的形式化寫法就是:記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 則我們知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函式無實根或只有乙個實根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 於是移項得到結論。
②用向量來證. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......
bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......
+bn^)^1/2乘以cosX. 因為cosX小於等於1，所以:a1b1+a2b2+......
+anbn小於等於a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 這就證明了不等式.
柯西不等式還有很多種，這裡只取兩種較常用的證法. 【柯西不等式的應用】 柯西不等式在求某些函式最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。 巧拆常數:
例:設a、b、c 為正數且各不相等。 求證:
(2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)>(9/a+b+c) 分析:∵a 、b 、c 均為正數 ∴為證結論正確只需證:2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1)
證明2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立 ∴原不等式成立。
為什麼確定了倆個向量後,第三個向量無論是任何都能用這倆個向量表示呢 不只是給出公式，問公式怎麼推理出來
玟清 高維中也是如此。給定中兩個線性不相關 不平行，不為零 的向量，它們可張成 span 乙個二維空間，相當於給出了乙個座標系 不一定正交 你可以將這個二維空間視為平面的定義，在三維中還有一種引數式的定義，其中是平面的法向向量。這裡用到了點乘，點乘定義為 穿過原點的平面為，意思是法向量與平面內所有的...
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