1樓：Jiawei Jiang
解析幾何中對向量的定義是有向線段，規定有向線段的長度為向量的大小，有向線段的方向為向量的方向，對於任何乙個有向線段，用它起點到終點的指向表示它的方向，書寫時，我們遵循從起點到終點的形式書寫，如向量 表示起點為 ，終點為 的向量，規定兩個向量相等當且僅當它們的大小相等、方向一致。
在希爾伯特的《幾何基礎》中，對線段有嚴格的定義：
定義：我們考慮一直線 上的兩點 和 ，我們把這一對點 和 所成的點組叫做一條線段，用 或 表示。在 和 之間的點叫做線段 的點，或線段 內部的點； 和 叫做線段 的端點，直線 上的其他的點叫做線段 外部的點。
對於有向線段的方向，在解析幾何中所給的定義不是很嚴格的，更多的是依賴於幾何直觀，因此我們需要在希爾伯特的幾何公理中尋找有向線段的嚴格定義，我認為可以通過直線的平行及點在直線的同側與異側來進行定義：
若兩個向量所對應的直線不平行(相交)，那麼這兩個向量的方向不同，若兩個有項線段所對應的直線平行/共線，那麼這兩個向量的方向相同或相反。
關於平行，希爾伯特在第五組幾何公理(平行公理)中給出，關於點在直線的同側或異側是解決有向線段(向量)方向相同/相反的關鍵，它的定義如下：
《幾何基礎》P7
定理8及下面的定義給出了直線外兩點同側/異側的定義，定理8的證明在附錄中給出，它是通過希爾伯特的前兩組公理(關聯公理、順序公理)推出的，儘管這樣乙個顯然的定理，它的證明篇幅仍然有一整頁紙(公理化之路太難了o(╥﹏╥)o)。
有了這個工具，我們就可以判定兩個平行的向量直線的方向問題了，對於向量 ，連線點 得到線段 ，設線段 對應的直線為 ，若點 在直線 的同側，那麼就稱向量 的方向相同，若點 在直線 的異側，則稱向量 的方向相反。
下面用這一定義來說明問題描述中的問題，即向量的平移不變性：
根據平行四邊形的定義可知， ，且 ，由於 ，故點 在直線 的同側，由此可知 與 方向相同，即有 。
這樣乙個很平凡的結論用公理化的方式去說明似乎也不是一件很輕鬆的事情。
個人感悟：公理化其實也沒有很神秘，它需要恰到好處的選取公理，作為公理系統的地基，我們陷入公理化的沼澤之中往往是因為不知道如何用已知的公理去搭建那些我們熟知的、顯然的結論，或者是不知道哪一條定理在公理系統中更基本。
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