1樓：Cortaxiphan
這裡假設折線的橫段和縱段相等。
設對角線的微分為dL，折線段的微分為dx和dy，那麼一段dl對應的折線段長度為dx+dy=2dx。
能夠用折線段近似對角線的必要條件是
dL-2dx=o(dx)
顯然本例中不滿足這個條件甚至有
dL-2dx=Adx
因此對兩邊積分就可以得到用這種方式近似會有A的誤差。
至於A是多少，相信大家都會算。
2樓：絕零之冰
我不是大佬。我不知道對不對。
這裡的問題是內折線多微分幾次就變成了對角線嗎？
對角線是一條直線，內折線是一條折線。多微分幾次出來的圖形看上去是一條直線，但本質上還是折線。我們在求 與x軸及x=1之間的曲邊三角形的面積，多微分一次面積會更接近真實面積，所以極限下的式子結果就會趨近於那塊所求的真實面積。
第二次微分比第一次微分多算了兩塊矩形BEFI,CJLK的面積。
但是在正方形的內折線多微分一次，然而內折線的長度是不變的。高數裡面說單調有界必有極限，舉例中的曲邊三角形面積可以看做是單調遞增，而且不管怎樣，所求式的結果總會小於真實面積，即有界。但這裡的內折線就是乙個常數函式，既不是單調遞增也不是單調遞減。
不管你微分幾次，到最後內折線長度還是2，並不會趨於 。
所以面積多微分幾次就可以用矩形的面積來計算不規則圖形的面積，但是內折線長度不能用來描述一條直線的長度。
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