1樓：智商稅
在區間內的逐點可微函式，遞增的充分不必要條件是導數大於0，必要不充分條件是導數大於等於0。
事實上充要條件是「幾乎處處大於0」，也就是允許有可列個點處導數等於0。
2樓：清風
首先這依賴於導數是否存在。甚至可以構造出導數處處不存在的增函式。
令r_n是正有理數的乙個排列，a_n為Σa_n收斂的正項級數,構造f(x)=Σa_n,
其中求和指標為對所有滿足r_n小於等於x的n求和。
容易發現f在有理數處突變遞增，在無理數處左右極限相等。
3樓：楊樹森
首先依然要指出原問題中敘述不規範的地方，然後改正。
習慣上「是……還是……」（either…or…）暗示了兩者有且僅有乙個成立，然而在這個問題中，兩個結論存在包含關係。不妨將針對兩個結論的提問區別開。
除了這兩個有必要改正的地方，增函式的定義也是需要明確的。學術上將增函式定義為：設 是 上的函式，則 是增函式是指對於任意 若 則 將上面的不等號改成嚴格不等號，得到嚴格增函式的定義。
但是在高中數學，將增函式定義為學術上的嚴格增函式。為什麼學術傾向於區分單調性與嚴格單調性，從這個問題中就可以看出。
以下修正了問題，並使用學術的定義。設 是區間 上的增函式，則是否一定可導？
若 可導，則是否對於任意 成立 0?" eeimg="1"/>若 可導，則是否對於任意 成立
這裡我們使用結論「可導函式必定連續」。任取 構造則 不連續，於是不可導。因此第乙個問題的回答是否定的。
任取 構造
則 是增函式，但是 因此第二個問題的回答是否定的。
我們證明 是增函式的充要條件是對於任意 成立若 是增函式，則對於任意 和非零實數 若 則又因為 在 處可導，所以
對於任意 當 時，根據 Lagrange 中值定理，存在 使得若對於任意 成立 則
由此可知 是增函式。以上表明第三個問題的回答是肯定的。
需要指出的是嚴格單調性與導數恆正並不等價。剛才舉的兩個反例不僅是增函式，而且是嚴格增函式，特別是第二個反例，說明即使是嚴格單調的函式，導數也可能有零點。不過，從導數恆正可以推出嚴格單調性。
完全仿照前面由導數非負推出單調性的證明，只需把不等號改成嚴格不等號。這條結論正是高中數學的導數與單調性的關係。
4樓：桃老師數學課堂
大於等於0 ，函式值可以在個別點上取到0，舉個例子，f(x)=x，這個函式是在整個實數域上單調遞增，但是它的導函式是大於等於0。
同學要區別好嚴格單調遞增和單調遞增的關係，然後再區別好導函式大於0，導函式大於等於0，導函式恆等於0之間的關係。
導函式在乙個點等於0不影響它的遞增或者遞減性，導函式在某個區間等於0，那麼這個函式在這個區間就是常函式了。
同學可以自己畫一畫y=x，y=x，和y=1的函式影象，然後看看他們的導函式。
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